哈尔滨工业大学2023年考研数学分析试题(哈尔滨工业大学2024研究生招生人数)

一、判别以下出题正误, 正确请给出证明, 差错请给出反例.

函数 在 上接连而且单调递加, 若 有上界, 则 在 上共同接连.
数列 收敛的充要条件是: 对任意的正整数 , 有 .
函数 在区间 上可导, 且 在 上处处有界, 则 在 上有界.
关于数列 , 总有 , 若 收敛, 则 收敛.
已知二元函数 在 处的两个偏导数存在, 则 在 处接连.

二、设 在 处可微, 且 , 求极限 .
三、设 在 上二次可微, 且对任意的 , 有 , 证明: .
四、设 在 上接连, 在 上共同接连且有界, 证明: 在 上 共同接连. 若去掉 “ 有界”, 则 是不是共同接连? 正确请给出证明, 差错请给出反例.
五、 设 在 上接连且不恒为零, 一起 .

证明 在 上有一个零点;
若 , 证明 在 至稀有两个零点.

六、 证明级数 收敛, 而且.其和小于 1 .
七、设函数列 , 阐明 在 上的共同收敛性.
8、设 , 其间 满足 , 且存在 , 使得 时, 有 . 证明 在 处可微.
九、核算极限
<section role="presentation" data-formula="\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^4} \iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq t^2} f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
” data-formula-type=”block-equation” style=”text-align: center;overflow: auto;”>