【2023教育学考研】湖南师范大学——学科数学考试大纲(2023考研国家线)

??958学科数学考试大纲

一、考试内容及要害

（一）数学分析有些

1、函数、极限、接连

考试内容

函数的概念及标明法　函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性　复合函数、反函数、分段函数和隐函数　根柢初等函数的性质及其图形　初等函数　函数联络的树立

数列极限与函数极限的界说及其性质　函数的左极限和右极限　无量小量和无量许多的概念及其联络　无量小量的性质及无量小量的比照　极限的四则运算　极限存在的两个原则：单调有界原则和夹逼原则　两个重要极限???

函数接连的概念　函数接连点的类型　初等函数的接连性　闭区间上接连函数的性质

考试要害

（1）了解函数的概念，掌控函数的标明法，会树立使用疑问的函数联络.

（2）晓得函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

（3）了解复合函数及分段函数的概念，晓得反函数及隐函数的概念．

（4）掌控根柢初等函数的性质及其图形，晓得初等函数的概念.

（5）了解极限的概念，了解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的联络．?

（6）掌控极限的性质?脑蛟怂愎嬖?

（7）掌控极限存在的两个原则，并会使用它们求极限，掌控使用两个重要极限求极限的办法．

（8）了解无量小量、无量许多的概念，掌控无量小量的比照办法，会用等价无量小量求极限．

（9）了解函数接连性的概念（含左接连与右接连），会区别函数接连点的类型．

（10）晓得接连函数的性质和初等函数的接连性，了解闭区间上接连函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会使用这些性质．

2、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念　导数的几许意义　函数的可挡笤与接连性之间的联络　平面曲线的切线和法线　导数和微分的四则运算?根柢初等函数的导数　复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所断定的函数的微分法　高阶导数?一阶微分方法的不变性　微分中值定理　洛必达（l’hospital）规则　函数单调性的区别??函数的极值　函数图形的凹凸性、拐点及渐近线　函数图形的描绘　函数的最大值与最小值　

考试要害

（1）了解导数和微分的概念，了解导数与微分的联络，了解导数的几许意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解函数的可挡笤与接连性之间的联络．

（2）掌控导数的四则运算规则和复合函数的求导规则，掌控根柢初等函数的导数公式．晓得微分的四则运算规则和一阶微分方法的不变性，会求函数的微分．

（3）晓得高阶导数的概念，会求简略函数的高阶导数．

（4）会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所断定的函数以及反函数的导数.

（5）了解并会用罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理和泰勒(taylor)定理，晓得并会用柯西(cauchy)中值定理．

（6）掌控用洛必达规则求不决式极限的办法．

（7）了解函数的极值概念，掌控用导数判别函数的单调性和求函数极值的办法，掌控函数最大值和最小值的求法及其使用．

（8）会用导数判别函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以?健⑶χ焙托苯ソ撸崦杌婧耐夹危?br>

3、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念　不定积分的根柢性质　根柢积分公式　定积分的概念和根柢性质　定积分中值定理　积分上限的函数及其导数　牛顿-莱布尼茨（newton-leibniz）公式　不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法　有理函数、三角函数的有理式和简略无理函数的积分　异常（广义）积分　定积分的使用

考试要害

（1）了解原函数的概念，了解不定积分和定积分的概念．

（2）掌控不定积分的根柢公式，掌控不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌控换元积分法与分部积分法．?

（3）会求有理函数、三角函数有理式和简略无理函数的积分．

（4）了解积分上限的函数，会求它的导数，掌控牛顿-莱布尼茨公式．

（5）晓得异常积分的概念，会计算异常积分．

（6）掌控用定积分表达和核算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及旁边面积、平行截面面积为已知的立体体积.

4、多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念　二元函数的几许意义　二元函数的极限与接连的概念?有界闭区域上多元接连函数的性质　多元函数的偏导数和全微分　全微分存在的必要条件和充分条件?多元复合函数、隐函数的求导法??二阶偏导数　方导游数和梯度　空间曲线的切线和法平面　曲面的切平面和法线　二元函数的二阶泰勒公式　多元函数的极值和条件极值　多元函数的最大值、最小值及其简略使用

考试要害

（1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几许意义.

（2）晓得二元函数的极限与接连的概念以及有界闭区域上接连函数的性质.

（3）了解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，晓得全微分存在的必要条件和充分条件，晓得全微分方法的不变性.

（4）了解方导游数与梯度的概念，并掌控其核算办法.

（5）掌控多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

（6）晓得隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

（7）晓得空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和

法线的概念，会求它们的方程.

（8）晓得二元函数的二阶泰勒公式.

（9）了解多元函数极值和条件极值的概念，掌控多元函数极值存在的必要条件，晓得二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简略多元函数的最大值和最小值，并会处置一些简略的使用疑问.

5、多元函数积分学

考试内容

二重积分的概念、性质、核算和使用　

考试要害

（1）了解二重积分的概念，晓得二重积分的性质，晓得二重积分的中值定理.

（2）掌控二重积分的核算办法（直角坐标、极坐标）.

6、无量级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念　收敛级数的和的概念　级数的根柢性质与收敛的必要条件　几许级数与p级数及其收敛性　正项级数收敛性的区别法　交错级数与莱布尼茨定理　任意项级数的必定收敛与条件收敛　幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域　幂级数的和函数　幂级数在其收敛区间内的根柢性质?简略幂级数的和函数的求法　初等函数的幂级数打开式

考试要害

（1）了解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌控级数的根柢性质及收敛的必要条件.

（2）掌控几许级数与p级数的收敛与发散的条件.

（3）掌控正项级数收敛性的比照区别法和比值区别法，会用根值区别法和柯西（caucy）积分区别法.

（4）掌控交错级数的莱布尼茨区别法.

（5）晓得任意项级数必定收敛与条件收敛的概念以及必定收敛与收敛的联络.

（6）了解幂级数收敛半径的概念、并掌控幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

（7）晓得幂级数在其收敛区间内的根柢性质（和函数的接连性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

（8）晓得函数打开为泰勒级数的充分必要条件.

（9）掌控ex，sinx，(1+x)c，及的麦克劳林（maclaurin）打开式，会用它们将一些简略函数直接打开为幂级数.

（二）高级代数

???1、多项式

考试内容

数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分化定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分化，有理系数多项式。

考试要害

（1）掌控数域的界说，并会判别一个代数体系是不是是数域。

（2）理身手域p上一元多项式的界说，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。掌控多项式的运算及运算律。

（3）了解整除的界说，熟练掌控带余除法及整除的性质。

（4）了解和掌控两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用曲折相除法求两个多项式的最大公因式。

（5）掌控不可以约多项式的界说及性质。晓得因式分化定理。

（6）掌控k重因式的界说。

（7）掌控多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。了解代数根柢定理。熟练掌控复（实）系数多项式分化定理及标准分化式。

（8）掌控来历多项式的界说及性质。 掌控整系数多项式的有理根的核算。

2、部队式

考试内容

摆放，n级部队式的界说，n级部队式的性质，n级部队式的打开，部队式的核算，克拉默(cramer)规则，部队式的乘法规则。

????考试要害

（1）掌控摆放、逆序、逆序数、奇偶摆放的界说。掌控摆放的奇挪笤与对换的联络。

（2）了解n级部队式的界说，并能用界说核算一些特别部队式。

（3）掌控部队式的根柢性质。

（4）了解矩阵、矩阵的部队式、矩阵的初等改换等概念，能使用部队式性质核算一些简略部队式。

（5）了解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌控部队式按一行（列）打开的公式。掌控核算部队式的根柢办法与技巧。

（6）熟练掌控克拉默(cramer)规则，

????3、线性方程组

考试内容

消元法，n维向量空间，线性有关性，矩阵的秩，线性方程组有解区别定理，线性方程组解的规划。

考试要害

（1）掌控一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等改换等概念及性质。掌控阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。

（2）掌控n维向量及两个n维向量相等的界说。熟练掌控向量的运算规则和性质。

（3）了解线性组合、线性有关、线性无关的界说及性质。掌控两个向量组等价的界说及等价性质定理。了解向量组的极大无关组、秩的界说，并会求向量组的一个极大无关组。

（4）掌控矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的界说。掌控矩阵的秩与其子式的联络。

（5）掌控线性方程组的有解区别定理，掌控线性方程组的公式解。

（6）了解齐次线性方程组的基础解系。掌控基础解系的求法、线性方程组的规划定理。并对有解的一般线性方程组，会求其悉数解。

4、矩阵

考试内容

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的部队式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等改换及使用。

考试要害

（1）掌控矩阵的的加法、数乘、乘法、转置等运算及其核算规则。

（2）掌控矩阵乘积的部队式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的联络。

（3）掌控可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌控一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。

（4）了解分块矩阵的意义，掌控分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。

（5）掌控初等矩阵、初等改换等概念?侵涞牧纾瓶匾桓鼍卣蟮牡燃郾曜夹魏途卣罂赡娴某湟跫换嵊贸醯雀幕坏陌旆ㄇ笠桓龇秸蟮哪婢卣蟆?br>

（6）了解分块乘法的初等改换和广义初等矩阵的联络，会求分块矩阵的逆。

5、二次型

考试内容

二次型的矩阵标明，标准型，仅有性，正定（半正定）二次型。

考试要害

（1）正确了解二次形和非退化线性替换的概念，掌控二次型的矩阵标明及二次型与对称矩阵的逐个对应联络，掌控矩阵的合同概念及性质。

（2）了解二次型的标准形，掌控化二次型为标准形的两种根柢办法。

（3）了解复数域和实数域上二次型的标准性的仅有性，晓得符号差、惯性指数等概念，掌控惯性定理的证明思维。

（4）了解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌控正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。

???6、线性空间

考试内容

集结、映射，线性空间的界说与简略性质，维数、基与坐标，基改换与坐标改换，线性质空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

考试要害

（1）掌控线性空间的界说及性质，会判别一个代数体系是不是为线性空间。

（2）了解线性组合、线性标明、线性有关、线性无关等概念，正确了解和掌控n维线性空间的概念及性质。

（3）基改换与坐标改换的联络。

（4）掌控基之间的过渡矩阵及其性质。

（5）了解线性质空间的界说及区别定理，掌控线性方程组的解空间的概念和性质，掌控向量组生成子空间的界说及等价条件。

（6）掌控子空间的交与和的界说及性质，掌控维数公式并能熟练运用。

（7）了解子空间的直和的概念，以及判别直和的若干充要条件。

???7、线性改换

考试内容

线性改换的界说，线性改换的运算，线性改换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性改换的值域与核，不变子空间，若尔当(jordan)标准形介绍。

考试要害

（1）掌控线性改换的界说及性质。

（2）掌控线性改换的运算及运算规则，了解线性改换的多项式。

（3）掌控线性改换与矩阵的联络，掌控矩阵类似的概念和线性改换在不一样基下的矩阵类似等性质。

（4）了解矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量，掌控类似矩阵与它们的特征多项式的联络及哈密顿-凯莱定理。

（5）掌控n维线性空间中一个线性改换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件。

（6）掌控线性改换的值域、核、秩、零度等概念，掌控线性改换的值域与它对应的矩阵的秩的联络及线性改换的秩和零度间的联络。

（7）掌控不变子空间的界说，会断定一个子空间是不是是a-子空间，了解不变子空间与线性改换矩阵化简之间的联络，掌控将空间v按特征值分化成不变子空间和直和表达式。

（8）晓得若尔当(jordan)标准形及其有关性质。

????8、欧几里德空间

考试内容

界说与根柢性质，标准正交基，同构，正交改换，子空间，实对称矩阵的类似标准形，向量到子空间的间隔。

考试要害

（1）了解欧氏空间的界说及性质，了解内积的本质，掌控向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及衡量矩阵等概念和根柢性质，掌控各种概念之间的联络和差异。

（2）了解正交向量组、标准正交基的概念，掌控施密特正交化进程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

（3）了解正交改换的概念及几个等价联络，掌控正交改换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的联络。

（4）了解两个子空间正交的概念，掌控正交与直和的联络，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有仅有的正交补的性质。

（5）了解并掌控任一个实对称矩阵均可正交类似于一个对角阵，并掌控求正交阵的办法。能用正交改换化实二次型为标准型。

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