20122021考研数学二真题及答案答案解析(20122021年间)

1、2013年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只需一个选项契合标题需求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.1、设，其时，（ ）（a）比高阶的无量小 （b）比低阶的无量小（c）与同阶但不等价的无量小 （d）与是等价无量小【答案】（c）【考点】同阶无量小【难易度】【详解】，即其时，即与同阶但不等价的无量小，故选（c）.2、已知由方程断定，则（ ） （a）2 （b）1 （c）-1 （d）-2【答案】（a）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】其时，.方程两端一起对求导，得将，代入核算，得 所以，选（a）.3

2、、设，则（ ）（a）为的跳动接连点 （b）为的可去接连点（c）在处接连不可以导 （d）在处可导【答案】（c）【考点】初等函数的接连性；导数的概念【难易度】【详解】，在处接连.，故在处不可以导.选（c）.4、设函数，若异常积分收敛，则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】（d）【考点】无量限的异常积分【难易度】【详解】由收敛可知，与均收敛.，是瑕点，因为收敛，所以，要使其收敛，则所以，选d.5、设，其间函数可微，则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】（a）【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】，故选（a）.6、设是圆域位于第象限的有些，记，则（ ）（a） （b） （c） （d）【答

3、案】（b）【考点】二重积分的性质；二重积分的核算【难易度】【详解】根据对称性可知，.（），（）因而，选b.7、设a、b、c均为n阶矩阵，若ab=c，且b可逆，则（ ）（a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价（b）矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价（c）矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价（d）矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价【答案】（b）【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵、按

列分块，因为，故即即c的列向量组可由a的列向量组线性标明.因为b可逆，故，a的列向量组可由c的列向量组线性标明，故选（b）.8、矩阵与类似的充分必要条件是（ ）（a）（b）为任意常数（c）（d） 为

4、任意常数【答案】（b）【考点】矩阵可类似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们类似的充要条件是有相同的特征值.由的特征值为2，0可知，矩阵的特征值也是2，0.因而，将代入可知，矩阵的特征值为2，0.此时，两矩阵类似，与的取值无关，故选（b）.二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定方位上.9、 .【答案】【考点】两个重要极限【难易度】【详解】其间，故原式=10、设函数，则的反函数在处的导数 .【答案】【考点】反函数的求导规则；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知，.11、设关闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积

5、是 .【答案】【考点】定积分的几许使用平面图形的面积【难易度】【详解】面积12、曲线上对应于点处的法线方程为 .【答案】【考点】由参数方程所断定的函数的导数【难易度】【详解】由题意可知，故曲线对应于点处的法线斜率为.其时，.法线方程为，即.13、已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件，的解为 .【答案】【考点】简略的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】，是对应齐次微分方程的解.由分析知，对错齐次微分方程的特解.故原方程的通解为，为任意常数.由，可得 ，.通解为.14、设是3阶非零矩阵，为a的部队式，为的代数余子式，若，则 .【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易

6、度】【详解】等式两端取部队式得或其时，（与已知敌对）所以.三、答复题:1523小题,共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.15、（本题满分10分）其时，与为等价无量小，求和的值.【考点】等价无量小；洛必达规则【难易度】【详解】故，即时，上式极限存在.其时，由题意得16、（本题满分10分）设d是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，别离是d绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，.因，故.17、（本题满分10分）设平面区域d由直线，围成，求 【考点】使用直角坐标核算二重积分【难易度】【详解】根据题意

7、，故18、（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明:（）存在，使得；（）存在，使得.【考点】罗尔定理【难易度】【详解】（）因为在上为奇函数，故令，则在上接连，在上可导，且，.由罗尔定理，存在，使得，即.（）思考令，由所以奇函数，所所以偶函数，由（）的结论可知，.由罗尔定理可知，存在，使得，即.19、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长间隔和最短间隔.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的间隔为规划拉格朗日函数 由 得 点到原点的间隔为，然后思考鸿沟点，即，它们到原点的间隔都是1.因而，曲线上点到坐标原点的最长间隔为，最短间隔为1. 20、

8、（本题满分11分）设函数（）求的最小值；（）设数列满足，证明存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界原则【难易度】【详解】（）由题意，令，得仅有驻点其时，；其时，.所所以的极小值点，即最小值点，最小值为.（）由（）知，又由已知，可知，即故数列单调递加.又由，故，所以数列有上界.所以存在，设为a.在两端取极限得 在两端取极限得 所以即.21、（本题满分11分）设曲线的方程为满足（）求的弧长；（）设d是由曲线，直线，及x轴所围平面图形，求d的形心的横坐标.【考点】定积分的几许使用平面曲线的弧长；定积分的物理使用形心【难易度】【详解】（）设弧长为，由弧长的核算公式，得（）由形心的核算公式，得.

9、22、（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵c使得，并求一切矩阵c.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】由题意可知矩阵c为2阶矩阵，故可设.由可得 收拾后可得方程组 因为矩阵c存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行改换:方程组有解，故，即，.当，时，增广矩阵变为为安适变量，令，代入相应齐次方程组，得令，代入相应齐次方程组，得故，令，得特解方程组的通解为（为任意常数）所以.23、（本题满分11分）设二次型，记，（）证明二次型f对应的矩阵为；（）若正交且均为单位向量，证明f在正交改换下的标准形为【考点】二次型的矩阵标明；用正交改换化二次型为标准形；矩阵的秩【难易度】

10、【详解】（）证明:，其间所以二次型f对应的矩阵为.（）因为正交，故因均为单位向量，故，即.同理因为，故a有特征值.，因为，故a有特征值又因为，所以，故.三阶矩阵a的特征值为2，1，0.因而，f在正交改换下的标准形为.2014年考研数学二真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分其时，若，均是比高阶的无量小，则的可以取值规模是（ ）（a） （b） （c） （d）【详解】，是阶无量小，是阶无量小，由题意可知所以的可以取值规模是，大约选（b）2下列曲线有渐近线的是（a） （b）（c） （d）【详解】关于，可知且，所以有斜渐近线大约选（c）3设函数具有二阶导数，则在上（ ）（a）其时， （b）

11、其时，（c）其时， （d）其时，【分析】此题查询的曲线的凹凸性的界说及判别办法【详解1】假定对曲线在区间上凹凸的界说比照了解的话，可以直接做出判别 显着就是联接两点的直线方程故其时，曲线是凹的，也就是，大约选（d）【详解2】假定对曲线在区间上凹凸的界说不了解的话，可令，则，且，故其时，曲线是凹的，然后，即，也就是，大约选（d）4曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（）（）(）（）【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径大约选（c）5设函数，若，则（ ）（）（）（）（）【详解】留心（1），（2）因为所以可知，6设在平面有界闭区域d上接连，在d的内部具有

12、二阶接连偏导数，且满足及，则（ ）（a）的最大值点和最小值点必定都在区域d的鸿沟上； （b）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的鸿沟上；（d）的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的鸿沟上【详解】 在平面有界闭区域d上接连，所以在d内必定有最大值和最小值而且假定在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显着，显着不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域d的鸿沟上所以大约选（a）7部队式等于（a） （b）（c） （d）【详解】大约选（b）8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（a）必

13、要而非充分条件 （b）充分而非必要条件（c）充分必要条件 （d） 非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，必定线性无关而其时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性有关；故选择（a）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10设为周期为4的可导奇函数，且，则 【详解】其时，由可知，即；为周期为4奇函数，故11设是由方程断定的函数，则 【详解】设，其时，所以12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 【详解】先把曲线方程化为参数方程，所以在处，则在点处的切线方程为，即13一根长为1的细棒位于轴的区间

14、上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 【详解】质心坐标14设二次型的负惯性指数是1，则的取值规模是 【详解】由配办法可知因为负惯性指数为1，故必需需求，所以的取值规模是三、答复题15（本题满分10分）求极限【分析】先用等价无量小代换简化分母，然后使用洛必达规则求不决型极限【详解】16（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值【详解】解:把方程化为标准方法得到，这是一个可别离变量的一阶微分方程，两端别离积分可得方程通解为:，由得，即 令，得，且可知；其时，可解得，函数获得极大值；其时，可解得，函数获得极小值17（本题满分10分）设平面区域核算【详解】由对称性可得18（本题满分1

15、0分）设函数具有二阶接连导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为:其间为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所以的表达式为19（本题满分10分）设函数在区间上接连，且单调添加，证明:（1） ；（2） 【详解】（1）证明:因为，所以即（2）令，则可知，且，因为且单调添加，所以然后， 也是在单调添加，则，即得到20（本题满分11分）设函数，界说函数列，设是曲线，直线所围图形的面积求极限【详解】，使用数学归纳法可得，21（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的

16、体积【详解】因为函数满足，所以，其间为待定的接连函数又因为，然后可知，得到令，可得且其时，曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为22（本题满分11分）设，e为三阶单位矩阵（1） 求方程组的一个基础解系；（2） 求满足的一切矩阵【详解】（1）对系数矩阵a进行初等行改换如下:，得到方程组同解方程组得到的一个基础解系（2）显着b矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行改换如下:由方程组可得矩阵b对应的三列别离为，即满足的一切矩阵为其间为任意常数23（本题满分11分）证明阶矩阵与类似【详解】证明:设 ，别离求两个矩阵的特征值和特征向量如下:，所以a的个特征值为；而且a是实对称矩阵，所以必定可以对角

17、化且；所以b的个特征值也为；关于重特征值，因为矩阵的秩显着为1，所以矩阵b对应重特征值的特征向量大约有个线性无关，进一步矩阵b存在个线性无关的特征向量，即矩阵b必定可以对角化，且然后可知阶矩阵与类似2015年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题及答案解析一、 选择题:（18小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只需一个选项是契合标题需求的。）(1)下列异常积分中收敛的是(a)2+1xdx (b)2+lnxxdx(c)2+1xlnxdx (d) 2+xexdx【答案】d。【解析】题干中给出4个异常积分，别离判别敛散性即可得到正确答案。 2+1xdx=2×2+=+； 2+lnxxd

18、x=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xde-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e-2-e-x2+=3e-2， 因而(d)是收敛的。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高级数学一元函数积分学异常积分 (2)函数fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)内 (a)接连 (b)有可去接连点(c)有跳动接连点 (d)有无量接连点 【答案】b 【解析】这是“1”型极限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt

19、=ex(x0), fx在x=0处无界说，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去接连点，选b。 综上所述，本题正确答案是b。 【考点】高级数学函数、极限、接连两个重要极限(3)设函数fx=xcos1x, &x0，0, &x0(0,0).若fx在x=0处接连，则(a)-1 (b)02 (d)00，0, &x0再有 f+0=limx0+fx-f0x=limx0+x-1cos1x=0, 1,不存在，1， f-0=0所以，f(0)存在1，此时f0=0.当1时，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin1x=0, -10,不存在，-10，因而，fx在x=0接连-1。选

20、a综上所述，本题正确答案是c。【考点】高级数学函数、极限、接连函数接连的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-,+)内接连，其f(x)二阶导函数f(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为aobx (a)0 (b)1(c)2 (d)3【答案】c【解析】f(x)在(-,+)内接连，除点x=0外处处二阶可导。 y=f(x)的可疑拐点是fx=0的点及f(x)不存在的点。fx的零点有两个，如上图所示，a点两边f(x)恒正，对应的点不是y=fx拐点，b点两边fx异号，对应的点就是y=fx的拐点。尽管f0不存在，但点x=0两边f(x)异号，因而(0,f(0) 是y=fx的拐点。综

21、上所述，本题正确答案是c。【考点】高级数学函数、极限、接连函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(,)满足fx+y,yx=x2-y2，则f=1=1与f=1=1顺次是 (a)12,0 (b)0,12(c)-12,0 (d)0,-12【答案】d【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,所以 f,=2(1+)2-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因而f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12综上所述，本题正确答案是d。【考点】高级数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设d是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直

22、线y=x,y=3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在d上接连，则dfx,ydxdy= (a)43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (b) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (c) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (d) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr 【答案】 b 【解析】d是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标改换，将dfx,ydxdy化为累次积分。 d的极坐标标明为 34，1sin212sin2， 因而 dfx,ydxdy=43d12sin

23、21sin2f(rcos,rsin)rdr 综上所述，本题正确答案是b。 【考点】高级数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的核算。(7)设矩阵a=11112a14a2,b=1dd2。若集结=1,2，则线性方程 ax=b 有无量多解的充分必要条件为 (a)a,d (b) a,d (c)a,d (d) a,d 【答案】d 【解析】ax=b 有无量多解rab=ra0，d是由曲线段y=asinx(0x2)及直线y=0,x=2所 围成的平面区域，v1,v2别离标明d绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积。若v1=v2，求a的值 【解析】 v1=02a2sinx2=a2021-cos2x2dx=

24、2a24 由a0可得 v2=202xasinxdx =-2a02xdcosx =-2a(xcosx02-02cosxdx) =2a又 v1=v2 可得a=8【考点】高级数学一元函数积分学定积分的使用(17)已知函数fx,y满足 fxyx,y=2y+1ex,fxx,0=x+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的极值。 【解析】由 fxyx,y=2y+1ex，得 fxx,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fxx,0=x+1ex 可得 ex+x=x+1ex 得x=x ex ,然后 fxx,y=(y+1)2ex+x ex对x积分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+

25、2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex所以fyx,y=(2y+2)ex, fxxx,y=(x+y2+2y+2)ex, fyyx,y=2ex令fxx,y=0，fyx,y=0得驻点(0,-1)，所以a=fxx0,-1=1 b=fxy0,-1=0c=fyy0,-1=2因为b2-ac0,所以极小值为f0,-1=-1【考点】高级数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)核算二重积分dx(x+y)dxdy,其间d=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】因为区域d关于y轴对称，所以dxydxdy=0 原式=dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201×2(2-x2-x

26、2)dx =201×22-x2dx-201x4dx令x=2sint,则 01×22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=8又01x4dx=15所以二重积分=4-25【考点】高级数学多元函数积分学二重积分的核算(19)已知函数 fx=x11+t2dt+1×21+tdt，求fx的零点个数 【解析】 fx=-1+x2+2×1+x2,令fx=0，得驻点x=12, 当x12时，fx12时，fx0, fx单调添加； 因为f1=0，所以fx在(12,+)上存在仅有零点。 又f120.解得 t=ce-kt+20 将初始条件t(0)=120代入上式，解得c=100 将t=30,

27、t=30代入得k=ln1030,所以 t=100e-ln1030t+20 令t=21，得t=60,因而要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【考点】高级数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程使用(21)已知函数fx在区间a,+上具有2阶导数，fa=0,fx 0,fx0.设ba,曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线与x轴 的交点是(x0,0),证明ax00，故fx单调添加。由ba可知fbfa=0.又fb0,故f(b)f(b)0,即有x0b x0-a=b-f(b)f(b)-a=b-afb-f(b)f(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=fb-a,a0，所以fx单调添加，然后f

28、fb,故 fb0,即x0a 综上所述，ax0b【考点】高级数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵a=a101a-101a,且a3=0 (1)求a的值； (2)若矩阵x满足x-xa2-ax+axa2=e,其间e为三阶单位矩阵，求x 【解析】(1) 因为a3=0，所以a=a101a-101a=a3=0所以a=0(2) 因为x-xa2-ax+axa2=e所以 e-axe-a2=e由(1)知e-a=1-10-1110-11,e-a2=001010-102因为e-a,e-a2均可逆，所以x=e-a-1e-a2-1=21-111-111020-1010100=31-211-121-1【考点】线性代数

29、矩阵矩阵方程(23)设矩阵a=02-3-13-31-2a类似与矩阵b=1-200b0031 (1)求a,b的值； (2)求可逆矩阵p,使pap-1为对角矩阵。 【解析】(1) 因为矩阵a与矩阵b类似，所以tr a=tr b,a=b所以 3+a=2+b,2a-3=b,解得 a=4,b=5(2) 由(1)知矩阵a=02-3-13-31-24,b=1-20050031因为矩阵a与矩阵b类似,所以e-a=e-b=-12(-5)故a的特征值为1=2=1，3=5.当1=2=1,解方程组e-ax=0,得线性无关的特征向量1=210，2=-301当3=5，解方程组5e-ax=0,得特征向量3=-1-11令p=

30、1,2,3=10010-1011,则pap-1=100010005，故p为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的类似对角化2016年考研数二真题及答案解析一、选择题:18小题，每小题4分，32分，下列每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求的二、填空题914小题，每小题4分，共24分，请将所选项前的字母填写在答题纸拟定方位上三、答复题，1523小题，共94分，请将所选项前的字母填写在答题纸拟定方位上，回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程。2021年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题解析一、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只需一项符

31、合标题需求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.（1）若函数在处接连，则（ ）(a)(b)(c)(d)【答案】a【解析】在处接连选a.（2）设二阶可导函数满足且，则（ ）【答案】b【解析】为偶函数时满足题设条件，此时，打扫c,d.取满足条件，则，选b.（3）设数列收敛，则（ ）其时， 其时，其时， 其时，【答案】d【解析】特值法:（a）取，有，a错；取，打扫b,c.所以选d.（4）微分方程的特解可设为（a） （b）（c） （d）【答案】a【解析】特征方程为:故特解为:选c.（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】是关于的单调递加函数，是

32、关于的单调递减函数，所以有，故答案选d.（6）甲乙两人赛跑，计时初步时，甲在乙前方10（单位:m）处，图中实线标明甲的速度曲线（单位:），虚线标明乙的速度曲线，三块阴影有些面积的数值顺次为10,20,3，计时初步后乙追上甲的时刻记为（单位:s），则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】从0到这段时刻内甲乙的位移别离为则乙要追上甲，则，其时满足，故选c.（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】 b【解析】,因而b正确。（8）设矩阵,则（ ）（a） （b）（c） （d）【答案】b【解析】由可知a的特征值为2,2,1,因为，a可类似对角化，

33、即由可知b特征值为2,2,1.因为，b不可以类似对角化，显着c可类似对角化，但b不类似于c.二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定方位上.(9) 曲线的斜渐近线方程为_【答案】【解析】 (10) 设函数由参数方程断定，则_【答案】【解析】 (11) _【答案】1【解析】(12) 设函数具有一阶接连偏导数，且，则【答案】【解析】故，因而，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解析】交流积分次序:.（14）设矩阵的一个特征向量为，则【答案】-1【解析】设，由题设知，故故.三、答复题:1523小题，共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、

34、证明进程或演算进程.（15）（本题满分10分）求极限【答案】【解析】，令，则有（16）（本题满分10分）设函数具有2阶接连偏导数，求，【答案】【解析】结论:（17）（本题满分10分）求【答案】【解析】（18）（本题满分10分）已知函数由方程断定，求的极值【答案】极大值为，极小值为【解析】两端求导得: （1）令得对（1）式两端关于x求导得 （2）将代入原题给的等式中，得，将代入（2）得将代入（2）得故为极大值点，；为极小值点，（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明:方程在区间内至少存在一个实根；方程在区间内至少存在两个不一样实根。【答案】【解析】（i）二阶导数，解:1）因为

35、，根据极限的保号性得有，即进而又因为二阶可导，所以在上必接连那么在上接连，由根据零点定理得:至少存在一点，使，即得证（ii）由（1）可知，令，则由罗尔定理，则，对在别离运用罗尔定理:且，使得，即在至稀有两个不一样实根。得证。（20）（本题满分11分）已知平面区域核算二重积分。【答案】【解析】（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线l: 就任意一点，l在点p处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求l上点的坐标满足的方程。【答案】【解析】设的切线为，令得，法线,令得。由得，即。令，则，依照齐次微分方程的解法不难解出,（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不一样的特征值

36、，且。证明:若，求方程组的通解。【答案】（i）略；（ii）通解为【解析】（i）证明:由可得，即线性有关，因而，即a的特征值必有0。又因为a有三个不一样的特征值，则三个特征值中只需1个0，另外两个非0.且因为a必可类似对角化，则可设其对角矩阵为（ii）由（1），知，即的基础解系只需1个解向量，由可得，则的基础解系为，又，即，则的一个特解为，综上，的通解为（23）（本题满分11分）设二次型在正交改换下的标准型，求的值及一个正交矩阵.【答案】【解析】，其间因为经正交改换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因而契合题意，此时，则，由，可得a的归于特征值-3的特征向量为；由，可得a的归于特征值6的特征向

37、量为由，可得a的归于特征值0的特征向量为令，则，因为彼此正交，故只需单位化即可:，则，2021年全国硕士研讨生入学共同考试数学二试题解析一、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只需一项契合标题需求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定方位上.（1）若,则（ ） 【答案】b（2）下列函数中,在处不可以导是（ ）【答案】d（3）设函数，,若在上接连,则（ ） 【答案】d（4）设函数在0,1上二阶可导,且,则（a）其时, （b）其时, （c）其时, （d）其时, 【答案】d（5）设,则的巨细联络为（a） （b） （c） （d）【答案】c（6）（a） （b） （c） （d）

38、【答案】c（7）下列矩阵中,与矩阵类似的为【答案】a（8）设为n阶矩阵,记为矩阵的秩，标明分块矩阵，则（a） （b） （c） （d）【答案】a二、填空题:9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定方位上.(9) _ (10) 曲线在其拐点处的切线方程是_ (11) _(12) 曲线在对应点的曲率为（13）设函数由方程断定，则（14）设为3阶矩阵，为线性无关的向量组，若，则的实特征值为【答案】2三、答复题:1523小题，共94分.请将答复写在答题纸指定方位上.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.（15）（本题满分10分）求不定积分（16）（本题满分10分）已知接连函数满足，(

39、1)求，(2) 若在区间上的均匀值为1,求的值（17）（本题满分10分）设平面区域由曲线与轴围成,核算二重积分（18）（本题满分10分）已知常数.证明（19）（本题满分10分）将长为2m的铁丝分红三段，顺次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是不是存在最小值？若存在，求出最小值。（20）（本题满分11分）已知曲线点。设是上的动点，是直线与直线及曲线所围图形的面积。若运动到点（3，4）时沿轴正向的速度是4，求此时关于时刻的改变率。（21）（本题满分11分）设数列满足。证明收敛，并求（22）（本题满分11分）设实二次型其间为参数(1)求的解(2)求的标准形（23）（本题满分11分）已知是常数

40、,且矩阵可经初等改换化为矩阵(1)求(2)求满足的可逆矩阵践给了我无量的舞台来前进自已调查疑问、分析疑问、处置疑问的才能，使我的事务水平缓作业才能得到了长足的前进，但我也清醒地知道到，自个的作业中还存在许多缺乏之 处2021全国研讨生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.其时，若与是同阶无量小，则a.1.b.2.c.3.d.4.2.的拐点a.b.c.d.3.下列异常积分收敛的是（）a.b.c.d.4.的值为（ ）a.1,0,1 b.1,0,2 c.2,1,3 d.2,1,45.已知积分区域，试比照的巨细a.b.c.d.6.已知是二阶可导且在处接连，请问相切于且曲率相等是的啥条件？a.充分

41、非必要条件b.充分必要条件c.必要非充分条件d.既非充分又非必要条件7.设是四阶矩阵，是的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只需2个向量，则的秩是a.0b.1c.2d.38.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵，若，且，则二次型的标准形为a.b.c.d.二、填空题9.10.曲线在对应点处切线在y轴上的截距为11.设函数可导，则12. 设函数的弧长为13. 已知函数，则14.已知矩阵，标明中元的代数余子式，则三、答复题:1523小题，共94分.回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程.15.（本题满分10分）已知函数，求16.（本题满分10分）求不定积分17.（本题满分10分）是微分方程满足条件的特

42、解.（1）求（2）设平面区域，求d绕轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分）已知平面区域满足，求19.（本题满分10分）的图像与x轴所谓图形的面积，求，并求20.（本题满分11分）已知函数满足求的值，使得在改换下，上述等式可化为不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数在上具有二阶导数，且，证明:（1）存在，使得；（2）存在，使得.22.（本题满分11分）已知向量组（），（），若向量组（）和向量组（）等价，求的取值，并将用线性标明.23.（本题满分11分）已知矩阵（1）求，（2）求可逆矩阵使得2021年全国硕士研讨生入学共同考试数学试题解析（数学二）1.c2.c3.d4

43、.d5.a6.c7.a8.c9.10.11.12.13.14.15.解:其时，.其时，.其时，.故.令，得.（1）当单调递减，当单调递加，故为极小值.（2）当单调递加，当单调递减，故为极大值.（3）当单调递减，当单调递加，故为极小值.16.17.18.19.20.解:，带入得，解得.21. 22.解:（1）当，即时，此时两个向量组必定等价，且.（2）其时，此时两个向量组等价，.（3）其时，.此时两个向量组不等价.23.（1）与类似，则，即，解得（2）的特征值与对应的特征向量别离为，；，；，.所以存在，使得.的特征值与对应的特征向量别离为，；，；，.所以存在，使得.所以，即其间.，往后，我将愈加留心学习，尽力战胜作业中遇到的困难，进一步前进作业道德涵养，前进事务学问和组织打点水平，为全县交通作业的打开作出新的奉献。