考研数学三真题及答案(考研数学三真题及解析)

1、2012年考研数学三真题一、选择题(1、8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只需一个选项是契合标题需求的。)_x2 + x(1)曲线v =匚渐近线的条数为(a)0(b) 1(c)2(d)3【答案】co【解析】.x2 + xx2 + xlim y = hm =1 = am y = um 由t+8+ 8% t- 00xt-8% -1,得y= i是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；8%lim y = lim-= -1 得x = l是曲线的一条笔直渐近线；x2 +x 1lim y = lim -3-=5由1 2得*=1不是曲线的渐近线；综上所

2、述，本题正确答案是c【考点】高级数学逐个元函数微分学一函数图形的凹凸、拐点及 渐近线(2)设函数/(幻=(2-1)(。2*-2)(。"-九)，其间几为正整数，则 /(0)=(a)(-l)n-1(n-l)!(b) (-l)n(n-l)!(c)(t尸!【答案】a(d) (-w)!【解析】【办法1】令g(%)=仁2 j 2)(e71 j0则f(x) = (e”l)g。)/(x) = exg(x) + (ex-l)g%)/-(

3、/-l)(e2x-2).<e，,z-n)/(0)= hm = limzx-)

4、接连，则二次积分jjd6jl>sj(#)rdr =(a)三旧+力(/+ 丫之协存/忌(f + ym(c)沁/你寸匹？/(/ + y2)dx(d),沁后+丫?)"【答案】b。【解析】令x = rcos e,y = rsin。，则r = 2所对应的直角坐标方程为22x +y = 4 r = 2cos 6所对应的直角坐标方程为(x-l)2 + y2 – 1。n由/。收拾j()rdr的积分区域tt2cos 0<r<2,o<6<-乙得在直角坐标下的标明为2x – x2 <y < x/4 -x2t 0 <x <2所以wd叱csjd

5、)rdr = /沁/饪汉小+、29综上所述，本题正确答案是(b)。【考点】高级数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、根柢性质和核算(4)已知级数2yoo (-1)”由级数j = 1产条件收敛，知av2综上所述，本题正确答案是(d)【考点】高级数学一无量级数一数项级数敛散性的断定roi0ci.roi1c2.州二1-1

6、c3，% 二r- 111c/,其间入2,c，4为任意常数，则下列向量组线性有关的为(a) aia3 a4【答案】co【解析】九个九维向量有关=1%您2,a=001- 1= o -1 1显着134所以猿1，4，%必线性有关综上所述，本题正确答案是(c)。【考点】线性代数一贯量一贯量组的线性有关和线性无关1 0 01 p-14p = 0 1 0(6)设4为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且 0 0 2若p = (%/，%)4 =(% + 电0。3)则q 一，q 二0 0 2o 1 o r2o o,【答案】bo【解析】 0010 0 2

7、0 2 00102 0 0100 – – j 因为p经列改换(把第2列加至第1歹u)为q,01 01那么q % v :且都遵守区间(&#

8、176;，i)上的均匀分布,(8) 2 7t (d) 4f(xty)dxdy1<%< l,0<y < 1,0,其他0<><1上等于常数1,其境当地均为0,实践上就是单位圆f + y2 4在第一象限 的面积。综上所述，本题正确答案是d。【考点】盖尤踣与数理计算一多维随机变量的分布一二维随机变量分布(8)设出2丛3冰4为来自全体n(l,/)g > 0)的简略随机样本，则 占“2计算量团+/-2|的分布为(a)n(0,l)(b)t(l)(c)z2(i)(d)f(i,d【答案】bo【解析】x – x21, xx2、n（0,2。）故噎/n（o,1）；2,

9、x3 + x4.2、n（0,2。）故三/n（o,1）,3 + x.z 2_ m + x,/ 飞。）-=xa-x2 x3 + x4 – 2 23, *1>2与4 + 乂厂2彼此独立。彳与（ 飒）也彼此独立,卜 3 r4-2| 所以x1-x210/21综上所述，本题正确答案是b。【考点】盖尤踣与数理计算一数理计算的概念 二、填空题（9、14小题，每小题4分，共24分。）um （tanx）co5x-sinx =（9）此o【答案】e y。【解析】这是一个1巴 型极限，因为1 1/.xcosx- sinx4 . z. 、】cos% sin（tan x）= 11 + （s九 % – 1）

10、|1=um=" /2ncos xx4tanx – 1tan x- 1lim； = um71cos x – sin x ncos x（l – tanx）x-x-*44um (tanxyo5x-sinx =所以【考点】高级数学一函数、极限、接连一两个重要极限f(x) = ( 1 九%尺 之 11(10)设函数%<1)=/(/。)狈产1 = 0 1【答案】%【解析】y = /(/(%)可看做丫 = /3),与比=/(%)的复合，当 = 时 1 1u = /(e) = ine = -ine =- 乙乙由复合函数求导规则知【考点】高级数学逐个元函数微分学一导数和微分的概念1.

11、f(x,y)-2x + y-2lim -/ 21=0u, 、%1。4x +(y-dc7(11)设接连函数z = /3y)满足yti，则叼(0,1)一【答案】2dx-dy【解析】.fx,y)-2x + y-2lim > ?= = 0d jxz + (y-ir由尸1,且z = /qy)接连，可得/(o,1) = 1,且/(x,y)-mi) = 2x-(y-i)+。(& +。_1)2),(江1)由可微的界说得f40)=2/(0,1)=-1,即dzl(o,i)= f 式0,1)公 + f y(o,l)dy = 2dx – dy【考点】高级数学一多元函数的微分学一多元函数偏导数的概念与核算

12、4(12)由曲线y =和直线y = x及y =轨在第一象限中围成的平面图形的面积为 o【答案】4仇2【解析】_ 4曲线丫 =或和直线y = x及y = 4%在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为【考点】高级数学逐个元函数积分学必定积分的使用(13)设4为3阶矩阵，ml = 3, 4*为4的伴随矩阵。若交流4的第1行与第2行得到矩阵/则忸t,则忸屋 i = |b| – |4*| = – aa2 = -27【办法2】根据题意0 1 011 0 0 4

13、 = b10 0 1j ,即3 =吗24那么b4二= 1川鸟2二3/2然后“i = |3%1 = 33|f12| = -27【考点】线性代数一部队式一部队式的概念和根柢性质线性代数一矩阵一伴随矩阵，矩阵的初等改换(14)设4bc是随机作业，4c互不相容，p(48) =/(c)=:则pcab | c) =。3【答案】4【解析】4c互不相容，天然有当然更有所以1pq4bg p(ab) 2 3(如=巧3【考点】盖尤踣与数理计算一随机作业和概率一作业的联络与运算，概率的根柢公式，作业的独立性三、答复题:1523小题，共94分。回容许写出文字阐明、证明进程或演算进程。x2 2-e – elim4（15）

14、求极限一。、【解析】【办法1】x2 2 – 2 cos x2x – 2 + 2cos x 1e – e limi.2 – 2cos x y. e- 1=lim e limxt。xx->0sox2 % – 2 + 2cos x-lim4s。“(等价无量小代换)2x – 2sin x=lim?so 4x(洛必达规则)1 211 – cos x 12×1-olim ? – /im ?z 8 a/6 c /12%to 5x%t0 x【办法2】x2 2 – 2 cos x2x – 2 + 2cos x 1e – e limi.2 – 2cos x y. e- 1=lim e limxt。xx-&g

15、t;0sox2x -2 + 2cosx-lim4s。 “（等价无量小代换）24/-2 + 2(1-复+不 +。(/)-lim4sox（泰勒公式）1 44谈 + 。(% ) i-l1m4-12d/12【办法3】_ / 2 o n 、e -ee (% – 2 + 2 cos %)（拉格朗日中值定理）lim4二 lim%->0 x%t0x2x -2 + 2cosx二 lim4so 欠2x – 2sin x-lim-so 钛1 31 ,广=him2a>0 %1=12（洛必达规则）1 3-sinx-rx、6 )22 / 21【考点】高级数学一函数、极限、接连一无量小量的性质及无量小量的比照，

16、极限的四则运算高级数学逐个元函数微分学一微分中值定理，洛必达（l e”(l – x2)dx=iex(l – x2) + fxexdx乙o u1 . xi1 fl x j=-2+xe l0-j0e dx1【考点】高级数学一积分法与分部积分法一 2元函数积分学一不定积分和定积分的

换元高级数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、根柢性质和核算(17)某公司为出产甲、乙两品种型的产品投入的固定本钱为1000

17、0(万元)。设该公司出产甲、乙两种产品的产量别离是%(件)和y (件)，x且这两种产品的边缘本钱别离为2y) = 10000 + 20x + x+6y + ?(万元)(ii)由题意知，求c(居y)在x + y = 50时的最小值，规划拉格朗日函数f(xfy,x) 22xy=c(x,y +

18、 a(x + y – 50)= 10000 + 20% 4- – + 6y + 4- a 4z(x + y – 50)x尸=20 + + ；1=0,f:=6 + y + ；l = 0,解方程组50) = 0.得=24,y = 26.因可以极值点仅有，且实践疑问存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量别离是24,26时可使总本钱最小，且此时投入总费用242262cm.n(x,y) = 10000 4-20x 24 + -+6x 26 + = 11118(万元)rx(hi)甲产品的边缘本钱函数:c + ?,所以，当总产量为50件且总本钱最小时甲产品的边缘

19、本钱,24c (x,y) = 20 + – = 32乙其经济意义为:当甲乙两种产品的产量别离是24,26时，若甲的产量每添加一件，则总本钱添加32万元。1 + xx(18)证明:xln- + cos x> 1 +1 < x < 1) jl – x/ 、0, 然后r。)

20、单调添加。又因为/(xe0fl).1 4- % 2xf (%) = in-1 – sinx -x,x e 0,1)因为lr 1-x21 4-

21、 %2xin-> 0 > 2x = x + x > x + sin x-1-x2然后有/(x)>)&q

22、uot;的拐点。【解析】7 (x) +/(x)-2/(x) = 0,(i)联立,，(乃 + f(x)= 2。,得f(x)-3/q) =-2e:因而fx) = e j "(j – 2e% – j " + c) = e" + ce3x99yy代入/ (x) + f(x) = 2e ,得c = 0,所以/(%) = e22(h)y =(一 = 0"净-“0

23、,又火。)=0,所以曲线的拐 点为(0，o)【考点】高级数学逐个元函数微分学一导数和微分的概念，导数 和微分的四则运算，函数单调性的区别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(20)设rla0()101a0-1001ab =0a1001101a核算部队式51；(h)当实数a为何值时，方程组4尤=0有无量多解，并求其通解。【解析】(i)按第一列打开ml11- o0a+ q( 1严1 1(h)当。时，方程组43 0有无量多解，由上可知y1或假定a= 11 o o o-1-1io-1io o 1 1o 1 1 o1 1 0-11 o o o( tl-lo oo o 1 1o 1 1 au1 1 o o1

24、o o 110 0 11110-10 1100 11-21 00 01 01 10 10 0 r= 3,r(z) = 4,方程组无解，舍去当= – 1时,1 -10100000-11-100-11-100l-lo o o o-1o o-ll o1x-1 o o 1 o o o1-1001,1-1001101-10-101-10-1001-10->001-10->-10010101-10111r(4) = 3 = r(a方程组有无量多解，取为安适变量，得方程组通解为tt(0, -1,0,0) + 依 1,1,1,1) 4为任意常数【考点】线性代数一线性方程组一线性方程组有解和无解的判

25、定,非齐次线性方程组的通解101, oila= -1 0at t（21）已知i –

26、4%卜二。,可得到归于；11二2的一个1 、t单位特征向量标（l1厂1）则/在正交改换* = qy下的标准形为【考点】线性代数一矩阵一矩阵的特征值和特征向量的概念、性线性代数一二次型一二次型的标准形和标准形，用正交改换和配办法化二次型为标准形（22）设二维离散型随机变量（x,y）的概率分布为012010

27、144i010321011212求 px = 2v；(h)求 cou(x-y,y)【解析】(i)px = 2y = px = o,y = o + px = 2,y = i = ；+o = ；(n)由(xy)的概率分布可得11 11 1px = 0-+4一二一 42 71 1pxy = 0 = ； pxy = 1 = ； pxy = 4=x zuo工乙所以11

28、1 2ex = 0- -+1* +2*7 = ，36 31"=%r = 3 + 3 = 3所以3 2 22cov(x – y,r)= exy – ex – ey – dy =- j j jj【考点】盖尤踣与数理计算一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23)设随机变量xv彼此独立，且都遵守参数为1的指数分布，记u = max xxy = mtn x,yt(i)求v的概率密度g(”)；(h)求 e(u + v

29、).【解析】(i)fv(v) = pv <v = pmin x,y <v = l- pmin xfy < v = l-px>vfy>v = l- px > vpy > v =1 – evev = 1 – e 2v,v > 0f(v = f2e_2v, v>0当"0时，3) = 0, /8，i 0, v<0(ide(u + p) = e(x + y) = ex + ey = 1 + 1 = 2【考点】盖尤踣与数理计算一随机变量及其分布一常见随机变量的分布，接连型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布盖尤踣与数理计算一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质