高数考研真题.docx(考研高数)

（-）函数极限连续色“理.?.走二.2第（2001.口）设义工）一|:产则八九/（工）?等于（）.10,|x|>lt（a）o.（b）l.（c）（b （d）（°,10,|x|>l. 11,|x|>l.解由/（公的定义知|/cr）|4l,故兀/（工）:1=1,从而应选（b）.（1990.n,v）设函数/（h）=_rtanx?l，，则/（工）是（ ）.（a）偶函数.（b）无界函数.（c）周期函数.（d）单调函数.解因为?-，010,当工72″+］）字（”62）时,5工-8,从而所以/（工）是无界函数.应选（b）.（1992.v）已知/（才）=5皿工./1>（工）］=1一二，则？><x）=的定义域为.解由 sin中（才）=】一x2,得中（工）=4n4-（-1）*ansin（1—3）/€久又由|1一^|41,得|工|《々.故对任一&值5（工）的定义域均为［-々，闵.［近抖，若”为奇数.（1991.v）设数列的通项为了.’ 则当io时.|士. 若”为偶数.x.是（）.（a）无穷大鼠.（b）无穷小量.（c）有界变过.（d）无界变值.解因为孙+产（/+1）+°（loo）,，2*+1工”=*-*0所以二是无界变量，应选（d）.+丁j（）991.i,口，皿）曲线产工-7（ ）.1-e<a)没有渐近线. (b)仅有水平渐近线.(c)仅有钳直渐近线. (d)既有水平渐近线又有船直渐近线.解因为lim科==1? j=lim^—；=+?o,所以应选(d).(199&id设数列｛工.｝与｛%｝满足处rj.=o,则下列断言正确的是().(a)若同｝发散，则｛端必发散.”(b)若0)无界,则｛%｝必有界.(o若5｝有界，则(端必为无穷小(d)若｛士｝为无穷小，则｛4必为无穷小解取二=”5=3,则隔工>.=0,且0｝发散，但｛端收敛，故(a)不正确.取”.=□+(-(—1尸］勿，则limx?y,-o,且｛*.),｛m)都无w■oo界，故(b)不正确.取二则limx”ho,且｛1?｝有界，但｛y｝不是无穷小，故(c)也不正确.由如jtjlo知(3/为无穷小(，l8),故当｛:)为无穷小时,｛》｝.卜3.)?j-)为无穷小，故应选(d).(2001.d)设当10时是比工sin/高阶的无穷小，而cin工是比(5-i)高阶的无穷小，则正整数”等于( ).(a)1. (b)2. (c)3. (d)4.解当l?0ht.(1—cosx)ln(l+aj)1-■.xsinx”?广*”?/-1?x*?故应选(b).(2004.dhlv)函数/(工)=》绊普三赛在下列哪个区间内有界(a)(-1,0). (b)(0,1). (c)(1,2). (d)(2,3).解因为ll及l2时，均有/(工)-8,所以人工)在(0,1),(1.2)，(2,3)内均无界,故应选(a).(2004,口)设义工)=则沿捽.则/(外的间断点为了=.解因为当了#0时，一x_i._(n-1)jt_1人力如?^阡？一1，所以

二，/()? 石、卜1/(*>=toc\o”1-5″\h\z工 -=8,/(*>=0,1=0,j-*?x0,1=0,从而/*(*)的间断点为z=0.(1994.i,ii)hrn(cot y)=.解由等价无穷小代换定理4?炉1lim(cotr)(-3 = ”=1淅-^-=去i\sinxx)ursm工tan工u13 611.(311.(3d)求解嗑镭争b/l+tan^-vl+ain”二口jtanlsjnz 1ixln(14-x)-?-?lx[ln(h-x)—x]jl+tanr+v^l+sin』1 1-cosx11?sin工一1=2如ln(l+rlf则二五一01+工[3?<1997.i)㈣i+cos工)|水1勃解因为四谓轻t㈣而隹5=3,j^cos-j^cos ]lim.z1>~~r.litn limrcos-=0,ln(1?x/「?<> xj~h> x3sinx+x2cos- ] 「q?j^cos–il*m7tt \t/1jf<=linitt ]券1+1/1工会x-o(14~cosx)ln(h-x)il+cos工]卜(1+工)!n(l-fx)j=1(3+0)=1.

fh+ 1 [ 2 ? ?n2{if4~n4-w)n24″n4-l〃?+”+2nl+n4-n

y/(w4″l)2(产+〃+1)’蚂国*r呵溪w，所以由央遥准则知原式=十.(1998.i,|])lin/1+j+^1~，r~2=j-o jr 解法一利用洛必达法则,.j1+^+5/1一工一2″lim”丐/正

j-o.j1+^+5/1一工一2″lim”丐/正

j-o.4r解法二”?jlim-=1利用泰勒公式，因为x?1+工-系十（》1）2!所以=lim-1-02!十+。（内所以=lim-1-02!十+。（内16.（2006,1）四嘿器解法一利用等价无穷小，原极限=lim年’=2.j**c1 92^解法二利用三角公式及两个重要极限,原极限=如售詈

=lim2?–—,limln（14″x）*=2*1-2.-4n喝1（1994.皿）计算limtan”（彳+。）.。 1+tan2因为1所（彳+:）=匚14，limtan2tan-1″刘21-tan-所以limtan2tan-1″刘21-tan-所以~l-tan-nl+tan-v n,~~21-tan-2g2］胃号?由l-tan-（2006,i）设数列i.｝设足（xxivir,jlsinx.（2g2］胃号?由l-tan-（i）证明limx.存在,并求该极限i（口）计算㈣（于h*.解（i）用归纳法证明｛h.｝单蠲减少且有下界.由0<xivk,得0<crj■sinxi<xi<xi设（xjt.vtt,则0<x.4i=sinx,<x.<xi所以｛工.）单调减少且有下界，故limx.存在.记a=linur■?由jvh=sinx?得■?3a=sina.所以.=（）,即limxm-0.■?a(n)因为］淅（典户=|融内=日叶.

\x/j-?alimgin5ill?=limy-（—”）=lim^-x-ojrxizr’sin*x/lo2jt_i?-orsinx1=1!2-67—=”6-lim心）」+,j^\x/又由（i）,limh.=0,所以■?3|油（见）*=lim（应猿=lim（鲍曰=e4.

xm/ \x./ ■r*#、t/19.(2002.v)设0vhiv3,工1rm=/r.(3—，)(”=1,2,…)，证明数列｛工.｝的极限存在,并求此极限.证由题设0v4v3知,与及3—』均为正数，故故由数学归纳法知,对任意正整数”>1,均有即数列｛工.｝是有界的.又当”>】时，”?.1一工.”“3-”?)一工?.zx?(y3-x.-ts?)=察冬善1)0(因0<54给，/3—x.+-/xt’ 2’故当n>l时,即数列u.｝单调增加.根据单调有界极限存在准则知linur.存在.设limx.ha,由?r**olimx1rh=limy/x.dj-xw),得 a=va(3-a).从而 2a‘-3a=0.

解得a=k，a=o,因a=linxr”》o,故a=0舍去，得

4 – ?r*oo ■*ooct.（1999.i）四（点一嬴尸 -解法一利用洛必达法则，原极限=肝嗡瞪=lim sin工口2sinx-fxcosx_ cvs工 =一四3cosx-xsin13,解法二利用麦克劳林公式,原报限=5啥詈x3原报限=5啥詈x3+。(工’)1=亍1=亍解法三利用等价无穷小代换及洛必达法则，emievtanx-tan工-sec2]-1原极限=hm-j- =hm j—=hm-r-j-xtanx j-o xi3jttang..j_1=hmn，-=hm力一~z-.

i&ri>3z<321.(2005.ni.w)求lim(:-与.解当d时，]-e”?工,并利用浩必达法则得则（）.x=0,x=l都是/cr）的第一类间断点.

x=o.i=l都是〃h）的第二类间断点.（c）z=0是/（工）的第一类间断点，工=1是〃工）的第二类间断点.（d）工=0是〃工）的第二类间断点，工=1是人工）的第一类间断点.解因为lim/（x）=oo.lim/（x）—0,lim/（x）=—1,i> i+ i-所以应选（d）.(2002.fl)设函数”工)=?arcsin与 在工=0处连续,a6, ]40则a=.解 lim/(x)=lim- -lim-tan—-2,i，^+arcsin-lim/（x）=limae2z=a=/（0）.因/（工）在工h。处连续，故lim/（x）=/（0）-lim/（工）,从而得an-2.i+ ?i-（1998.ii）求函数f（h）=h+h）”（t）在区间（0,22内的间断点，并判断其类型.解义工）在（0,2外内的间断点为了=￡,华，苧，午.在工=彳处j（g+）=+8,在工若案处,/信+）=+00,故h=v普为第二类间断点（无穷间断点）|在工=竽处,lim/（h）=l,在工=孑”处,i岬/（工）=1，故土=学号为第一t t类间断点（可去间断点）.（2001.口）求极限阳（*^）=^,记此极限为八外,求函数/（工）的间断点并指出其类型.解因为/cr）=j;:3t原insin原insin￥耨=场工/(1)二/?costsinx,八外的间断点为在x-0处= =e，故工=0是函数人工）的第一类间断点（可去间断点以在*=6兄*=±1.±2「??）处，1吧/（工）=8,故*=*《&=±].土2,…）是函数/（工）的第二类间断点（无穷间断点）.（1992.n）设函数g—li）,若工孙g—li）,若工孙1-sinyx

】,若ll,/(x)?lim>/\—j-e/(x)?lim>/\—j-e1/itlim/(x)?=lim-~十”一5x—arcsirtr问函数fcr）在工=1处是否连续？若不连续，修改函数在r=l处的定义，使之连续.解因为lim/0）tim—-（l1）-2iim*n0t）f—1崂工kicos京=2]imwl匚》一%八1）,所以函数/（工）在工=1处不连续.若修改定义，令/（d=-*，则函数在工=1处连续.（2003.0）设函数x<0.ln(】+ar，)

x-arcsiru*x<0.6.iwin手

问a为何值时,/（工）在工=0处连续;a为何值时.工=0是/（工）的可去间断点?解lim/(“)=limic+or”i-i-x-arcsiar

(二)一元函教微分高通(1989.i,n)已知［'(3)=2,则解出h-始立3)一今也以3_,丁⑶一步，⑶一i.(1989.［h)设八外在h=a的某个邻域内有定义，则人工)在h=a处可导的一个充分条件是().(a)川中［小++)一人)］存在.(b)忸&+2a)1/3十g)存在.(c)lin/(a+.￡/(q_也存在. (d) 皿二件组存在.d 6n dn解islim〃a)_fa_a)=limaa+(；-ax_/q)

a-o n -*-c l-n)

=1而小+”一盘,

in故应选(d).关于其他三个选项,(a)和(b)不是充分条件比较明显，至于(c)的排除可用反例来说明，例如设10,x=a.则人工)在工处间断，因而fgr)在x=a处不可导，但hm*1 xt-1 0.4/1(2001.i)设f(0)=0,则/g)在点x=0可导的充要条件为( ).(a)lim&f(l-cosa)存在. (b)limj/d-e*)存在.fc—0fl hiboflkrn^f/(a—sina)存在.krn^f/(a—sina)存在.lim《［7(2a)-f(a)］存在.解令1一/,，则a=ln(l-r),当&-x)时,，~0,故1，八/(?)一”/,(t)~/(0)t也也 —t ?疝千由导数的定义知，应选(b).关于其他三个选项的排除，可用反例说明.取义工)=1×1，则人工)在工=0处不可导，但lim^/(l-cosa)=四”节?=1?sina)=lim-^~=0,*-en mh故排除(a)和(c).又取〃工)=[:’工会加八工)在-r-0处不连续，从而八0)不存在.但10?j<0.lim4-[/(2a)-/(a)]=lim4-<0-0)=0.ith ith即小左/⑵)一/w」存在,故排除(d).4.(1990.01)设、=e*sinq,则y’=,(2004.i)已知/'(eo=he”,且/(

i)=0,则/(h)=.解令d=，，则工=im.由f\e)=工『知/’?)=中,积分得/(r)=-y(in/)1+c.再由/(i)=0知c=。，故/(j)=-l-(lar)1.(2004.d)设函数人工)由参数方程产=d+3r+1?ly=p—3r+】确定,则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为.解由题设知曲-—-1ct7+if出=&/如).@=一―一mdt\dx)dr 3(产+1产令总v0,得fvo.代人工=1+31+1并由单调性知mv1,故所求取值范围为(一8,1)或(一8,1].注:由于$>0,故函数了=工(，)是单调的u与，之间的对应是一对一的,从而保证参数方程确定函数yny(x).(1999.u)曲线e=””n”‘在点(0,1)处的法线方程为 .l,y=ecost施或9sz3s-cosl/sint=cosf-sinfdxxte’sin2f+2。8s2tsin2z+2cos点(0,1)对应参数l0圜」■!■，于是所求法线方程为》一］=-2工，即2i+y—1==0.(1994.皿设函数y=y(h)由参数方程仁所确定，则守于是，解得 a=2,6=-l.解法二由/(a)在a=0处可导，即5&2/(8=八0),

h于是吗?2。?

n从而有/(a)=/(0)+/，(0)a4-o,(h),lim24^=lim<l=0.h-hn同理有/(2a)=/(0)+/z(0)2a4-ol(a),lim2t^=0.*-h>n所以a/(h)+fc/(2a)-/(0)=(a4-6-l)/(0)+(a4-26)/，(0)a+o(a),按题设.当i时上式右端应是h的高阶无穷小.从而(a+6-1)/(0)-0及(a+26)/，(0)-0.于是a+6-l-0,a+26=0.得(2002.i)巳知两曲线、=义工)与、=j:”‘e-‘d,在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限n解由巳知条件得〃0)=0,故所求切线方程为y=x./2\ /(1)-/<0)linw?/(-)-lim2■ =2/'(0)=2.??co\u/ ■?8 4n(1987.i，h)设函数八”)在闭区间［0,1］上可徽,对于［0,1］上的每一个，函数/g)的值都在开区间(0,1)内，且，(外工1,证明在(0.1)内有且仅有一个z?使/(x)=x.证令fg)=〃工)一工，则fg)在［0,1］上连续.由于0v/cr)vl.所以f(0)=/(0)-0>0,f(l)=/(l)—1v0,故由零点定理知，在(0,1)内至少存在一点］，使f(x)^/(x)—^=0?即/(x)=x.若有4,4€（0.1）.口*4,使/（x））=工|＞f（.xt）=xt.则由拉格朗日中值定理知，在（0.1）内至少存在一点工使八力=￡（川一/h?=4f=1,4一11 4-x1这与题设/’（工）#1矛盾.综上所得，在（0.1）内有且仅有一个h，使人力=工.（1996.id）设/（外在区间［a.6］上具有二阶导数，且/储）=八6）=0,证明存在证先证明存在￡€储,6）.使八￡）=0.用反证法.若不存在sc（a,b）,使/（丹-0,则在（a,6）内恒有/（工）＞0或/（工）＜0,不妨设人力＞0（对/（工）＜0,类似可证），则一? “一a j.jx-a/z（a）-lim一球二承=lim&^40.lb —-lb从而与已知条件矛盾.所以在（a,〃）内至少存在一点8使/（s）=0.再证存在”6（a,6）,使广卬=0.由〃“）■/（〃）=/?）及罗尔定理知，存在小6（a,&和承使（平）=0,再在［加.*］上对函数/’（力运用罗尔定理，知存在代（小，拿）u（a而.使/?卬-0.（2001.1）设y=/（h）在（-1,1）内具有二阶连续导数且/”（h）x0,试证:（1）对于内的任一hxo.存在惟一的外工）6（0,1）,使/（x）=/（0）+工/’（洪工）工）成立1（2）蟒外=今证法一（1）任给非零工€（—1,1）,由拉格朗日中值定理得/（x）-/（0）+x//（wx）x）（0＜tf（j）＜l）.因为广cr）在内连续且，cr）#o,所以，（h）在（一1.1）内不变号,不妨设厂（工）＞0,则/’（工）在（一1.1）内严格单增，故，（外惟一.（2）由泰勒公式得/（工）=/（0）+/’（0丘+］,（￡”在。与工之间.所以-/（x）-/（o）-,（0）工+}/*（“,所以从而由于 -广⑹=/*(0),lim/,(f)=lim/*'(f)=/，<0),l? cr\x/x j-*o lo故lim^(x>=-1r.证法二(1)同证法一(1).(2)对于非零工—由拉格朗日中值定理得/(x)=/(o)+x/z(wx)x)(0<^(x)<l),8f ,《仇外”一，(0)，(工)一〃0)—广(0)工toc\o”1-5″\h\zx x*小工 i./'(灰h)h)一尸(。)”由于 皿一丞一二/(以hm/q)—人/一/'(。叱7多/:*)//’“)=’r<0),?r*o x <i-o4x 6故 lim^cx)55*-1-.j-*o4(2005.皿，id以下四个命题中，正确的是( ).(a)若/'(工)在(0,1)内连续，则人工)在(0,1)内有界.(b)若f(工)在(0,d内连续,则f(工)在(0,1)内有界.(c)若f'(h)在(0,1)内有界，则人工)在(0,1)内有界.(d)若义工)在(0,1)内有界，则f'(h)在(0,1)内有界.解若，(工)在(0,1)内有界，则存在常数m>0,对任意x6(0,l).|/’cr)|&m.又当工6(0,1)时,由拉格朗日中值定理，有/(r)-/(1)=其中s介于工与士之间,于是有i/<x)k|/(1)|+m|x–|-|<|/(|)|+|m,故应选(c).本题也可以用排除法.对选项(a)、(b),取八h〉=lm,则/’cr)=+，lnr与十均在(0,1)内连续，但hu■在(0,1)内无界，故(a)、(b)均不正确,对选项(d).取f(力=s/f^r,fcz)在(0,1)内有界，但，(工)=^^三在仙1)内无v1—j7界，故(c)不正确.(2001.n)设/(工)在区间［-^^(。，(^上具有二阶连续导数，/(0)=0.(1)写出〃工)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式，(2)证明在［一a,a］上至少存在一点小使卬=3匚0工)dr.解(1)对任意hc［-a,a］,〃力=/(0)+/'(0)工+4^3=/'(0)工+乌2x*，其中s在。与工之间.j:/(x)dr-1/'(0krdx+匚若/*(w)dr=*［］/(由dr.因为/(彳)在［-a,a］上连续，故对任意的工￡［—有m&f'(n)&m,其中m,m分别为f*gr)在［一°向上的最大、最小值,所以有m|ddr^j/(x)djr=yjx1f”jj^dltt即 m寻(/(x)dx<m.因而由/*(工)的连续性知,至少存在一点q€［-a,a］,使_［;八工)公，即 &’尸(献=31/(x)dr.下面我们给出(2)的另一种证法.令f(j)=1 因为/(工)在［—a,a］上有二阶连续导数，所以f(h)在［一a,a］上有三阶连续导数，且f(0)=0,f7o-o,尸(0)=0.由泰勒公式知存在￡6(-a,a),使得fgr)=「/s&=5f*(￡)x\吒(-a,a).由f,(6=/*(工)+/*(一工),故有「/odz-7；［/*(?)+/*(-oli4,f€(-a.a).j-jr o!又因为，cr)连续,所以在s与一s之间存在力使得小5殁上叁=，(门.从|/(?)dt=-y/*(7>jr1?西(一a,a).在上式中令即得所证.(按此证法》可在开区间(一。,&)内取得，比原题结论更精确.)(2006.i)设函数y=/gr)具有二阶导数，且/'(工)>0,/*(工)>0,ar为自变量工在点工。处的增量,ay与dy分别为人工)在点工。处对应的增世与微分，若ar>0,!m( ).<a)0<d><ay. (b)0<ay<d>.<c)△><<!><0, (d)dy<ay<0.解由一阶泰勒公式/(xo+ar)=/(ho)+/'(j:o)ar+4j^(ar)’，其中g介于ho与he+ar之间,及已知条件知dy=/z(xo)ax>0,a^-dy=>0,故应选(a).(1990.ui)证明当工>0时，有不等式arctan>>?,.x2证设/(ar)-arctan彳+5一手(*>0).则故函数人外在(0,+8)内单调减少.又lim/(x)=0.于是/(“)=arctan”+/一个>0(x>0),即 arctan (x>0).(1993.阳)设工>0,常数?>e.证明(4+工厂<0*”.证由函数y=ln”的单调性,只需证ciln(a4-xx(a4~x)lna.设/(x)=(a+x)lna—aln储+工)■贝i]/(”)在[0,+8)内连续、可导，且/'(xxlna-.^^>0,所以f(工)在匚0?+8)内单调增加?又/(0)=0,从而/(x)>0(x>0),即 aln(a4-xx(a+x)lna(x>0).因此 储+工)”<。””(x>0).(1999.i)试证:当工>0时，(j1-din仑(工一1》.证法一令—一（工一1汽”>0）,易知/i）=o.由于向《jrezjdna-i+2-i,/⑴=0?<p（”）=21|>工+1+/,5中，故当ovrvl时.”（jr）?h当l<rv+8时,/（x）>0,从而/（工）在工=1处取得最小值，而,（1）=2>0,故当工€（0,+8）时“（工）>0,从而中’（外在（0,+8）内单调增加.又乎’（1）=0?故当°<5<1时?/（h）vo；当l<x+8时,中’（工）>0.从而6工）在工=1处取得最小值，而中（i）=0,故中（工）》0,即当了>0时,（二-l）ln工》（1一i）］.证法二令力/二皿工一鬲行:^人则^（4:）=7-（7117*7^￥17>0（x>0>-从而6工）在（0,+8）内单调增加，而61）=0,所以当0v工viflt.^txxoi当l<rv+8时,研工）>0.于是当工>0时，即 ?一1）12）（工一1）,进一步，我们还可以证明:当了>0时,（/-dinx>2（x-iy.事实上，令必了）=in工-■隼谭，则p（1）=0,且/（工）=若xrl.所以当ovhvi时,ycr）?h当1vhv+8时?（工）>0.故当工>0时,（工一1）6工）20,即有（x2一】）ln”22（工一1）’.（2005.山，小）设/（*）=zsinx+cosir.下列命鹿中正确的是（ ）.（a）八0）是极大值,/住）是极小值.（b）｛0）是极小值,/住）是极大值.（c）/（0）是极大值,/战）也是极大值.(d)/(0)是极小值,/'(学)也是极小值.解由于/'(z)=siar+xcosx-sinx=xcosx?/”(1)=cosx-xsinx*/(0)-/(f)=0,/*(0)=1>0/(m)一｝vo,故/cr)在工=0处取得极小值，在工-1处取得极大值，应选（b）.（2001.口）设。=〃力是抛物线上任一点m（h，wg）d处的曲率半径，尸，力是该抛物线上介于点a（l,l）与m之间的孤长，计算即力一（新的值.（在直角坐标系下曲率公式为k=（g§.）frrj , 1 0 1解y=2^’y~~t/^所以抛物线在点mq，w处的曲率半径p=p（工）=.=”节j=’（4z+d，?抛物线上病的弧长f=j（x）=卜1+『&=j:jl+.dr.由参数方程求导公式得状￡_d国1_6, 1_6d?±r\dslds2gi,,174×4-1dr j1+石从而即匏一偿）’*”+1）’?^f-36x-9-（1990.皿）在椭圆￡+￡=1的第一象限部分上求一点p,使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0,6a>）?解设所求点为pg。,8）,则该点处的切线方程为*.t，图形面积为 —|-xa6.xo6（0,a）.设a=h。”=]jro，a’一乂,则a\ va-x3/a⑷一x?图研2-1图研2-1由a’5）=0,得工产嚏，易知得为a的极大点，即s42 42的极小点，也是s的最小点，此时%.故所求点为p（哀’场）时’所圉图形面积最小.（1993.皿）作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的h为何值时，其体积最小，并求出该最小值.解设圜锥的底面圆半径为r（见图研2-1）.则有解得于是圆锥的体积为力/）=更此11也3（a-2r）,）内的惟一驻点a=”,当a=力/）=更此11也3（a-2r）,）内的惟一驻点a=”,当a=4r时，v取最小值,由可得v(a)在(2r,+8%4-=挈（1994.皿）设y=w^,求（1）函数的增减区间及极值；（2）函数图像的凹凸区间及拐点:（3）渐近线, （4）作出其图形.斛定义域（-8,0）1|（0,+8）.当工=一％时,y=0.故驻点为工=2.又所以,（一8,0）所以,（一8,0）及（2,+8）为增区间，（0,2）为城区间,工=2为极小点,极小值为尸3.y”=§>0,故（一8。），（0,+8）均为凹区间,图像无拐点.(3)因lim一丰^工+8.(3)因lim一丰^工+8.loarlim*=lim- =*1 ,j^>oo工r?bxt-x)=0=6,所以，工=0为铅直渐近线,y=x为斜渐近线.(4)国形见图研2-2.(1993.v)已知某厂生产工件产品的成本为c=25000+200h+工/(元)，40问k1)要使平均成本最小,应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大,应生产多少件产品？解(1)设平均成本为y,则25000+200+^

x 40由y，—一等奥+古=0,得工|=1000』—-1000(含去).因为y”1clm0=5?io-s>o,所以当工=10’时,y取得极小值，也是最小值，因此.要使平均成本最小，应生产1000件产品.(2)利润函数为l=500x-(25000+200×4-^)=300x-^-25000.由l’=300一言=0,得工=6000.因切…o=一番vo,所以当工=6000时,l取得极大值,也是最大值，因此，要使利涧最大,应生产6000件产品.（三）一元函数积分学，1989. 设八工)是连续函数，且人工)=工+2「”，)&,j0则/(工)=.解设j:/a)市=＜:,则八力=1+2门因此有c—￡(r+2c)drs=-1-+2ct得到一―十,故/(x)=x-l.(1999.i)%jsin(工-tvdf=.解[sin(x-f~—sinu2du=jsin/du,因此有我[jos’11(“-“2”]=次(1s’?2cl?)=sinx2.fhsin/dt.工壬0,(20。6.n)设函数八工)工j。 在*=0处连续，则ia,j*=0toc\o”1-5″\h\zf§in?d/?? [解lim/(x)=?lim-~~$—=lim 》■r-0 r-0工 ^*o3x* 3因此，a—lim/(x)=(1991.皿)设函数/⑺=[7 记f(h)=『/(，)也，12-x.1o&2. j。0cy2,则有( ).fcr)=’ &y+2x-y?io42.

fcr)=’ ,―^+2x—彳，kx^2.yt ?】，f(x)=^y+2x-ytl<x<2.j.o?l,f(“)=<2x—奇，lvx^2.解当o《z】时,fcr)=j:/”)也=。也=第当l<x<2时，fcr)=j:/”)&=_[:/dz+j:(2一八市-i+2x~j-故选(b).(1999.口)设“工)=j:苧&，hh)=j:’(1+伊山,则当lo时，atr)是做工)的( ).(a)高阶无穷小. (b)低阶无穷小.(c)同阶但不等价的无穷小. (d)等价无穷小.「包必 5?里左解由于lim招 lim —~x=-.i版工) (]+,)+&icos工?(1+sin工)±e故选(c).(2006.11)设人工)是奇函数,除工=0外处处连续,工=0是其第一类间断点，则1/(力也是( ).j0(a)连续的奇函数. (b)连续的偶函数.(c)在工=0间断的奇函数. (d)在x=0间断的偶函数.解对于任意的工。,存在a>0,使得％e(—a,a),由条件可知/(工)在[-a.a]上有界.设|/(力|vm.cr€a,a?,记f(幻=]/”)也，当工。+m6[―q,a]时，有 |f(x.+ax)-f(x.)|=|￡*/g)dz|<a4.|az|.故ar—0时.f(h?4-ar)-f(a)-0,即f(x)在h。处连续.又f(—x)=j/(t)dt’ “j—/(—u)du=1^/(k)dw=f(x)?所以fg)是连续的偶函数，故选(b).(1987.皿)计算[,,士,一dr,其中a,6是不全为0的非负常数.jasinx~rtrcoerx解当ax0,6×0时，ja%ii?j:+—cos*j&-\a，tang+6**tan工，==arctan传tanh)+c.当a=0,-4u+4arctanu+c9-(1994.i.口.di)求jsin(2xh.2sinx,解法一f dx =f dz fd(cos工) jsin(2x)4-2sinxj2sinx(cosx+l)j2(cos*x-l)(cosx+l)dat2(i?dat2(i?一d《“+dtj岛+w+寻万w=t[-ln(l-“)+ln(l+“)-p1^]+c一ln!七/工+ 1 +c8 1-cosx4(14-cosx),解法二[—4 (—山?，」(_2(i)_jsin(2r)d-2sinxj2sinx(cost+1)4j.x?3×8107^7ifd(?an[)4tan号c0kzy1tan?~~

4j_2d(tanf)tan彳=”1″tan，4+4″ln|tan-yi+c.(1987.d)计算定积分j:(|h|+z)e-fdr.解由于工e-，为奇函数，|工怆-以为偶函数,因此有[(|x|4″x)e-^dr=2f|x|e-wdz=2[xe~，dxjt jo jo=2[-k-er:g=2-§.(1989.dp已知/(2)=-1/⑵=0及j:/cr)dr=i,求￡//*(2r)dr.解令—2x,则「八次士j//w=-|j:的’sj=得[7/s『一3j:tf’qk

⑺]=–1■+j=0?(1995.ui)设/gr)=j:答市,计算j:fgr)clr.解[:/(x)dr=[x/(x)]5-j；”/'(jr)dr

?i-&「sinhdz=2.jo joix（1995.卬）求函数，（工）=_[:（2—力e-y，的最大值和最小值.解由于函数义工）为偶函数，因此只需求/（力在[0,+8）内的最大值和最小值./’（工）=2x（2—x*）e-‘，令f’（h）=o求得在（0,+8）内的惟一驻点工=々，易知该点为极大值点,也是最大值点，故最大值为八々）=￡（2-de-‘<k=[-（2-t）e-,]?-j*e-‘d/=l+e-*.又由于函数八工）在[0.々]上单调增加，在[々，+8）内单调减少,而〃0）=0,lin^/cx）-（2-/）e-‘dt=[-（2-t）e-‘]^-ldt-2+[e-‘]?-=l,因此最小值为/（0）=0.14.（1998.口）计算积分14.（1998.口）计算积分?dr”|工一工”解注意到了=1是被积函数的瑕点，而dr=[arc8in(2jrdr=[arc8in(2jr-1)]|=arcsinl?=-5-.「系=c尸枭〒[mt+gff11mb引—因此j:7f^=1；7^+f7^==f+ln<2+^3).

7|x-jt| zr-or八jx1一工415.(2005.ii)设函数/(“)连续，且八0)h0,求极限f(x-r)/(r)d/

]im’ .ixjo/(j-f)d/解 /(x—1)d/1x*j-/(i4)dm=因此原式=limr-m)xjy(t)dr-￡t/(t)dr了⑺也limi2 1r-*0 1丫/⑴也%—+/(z)lim/(jr) ?■r-01=limf(x)+/(0)=t16.(2000.口)设心平面上有正方形口=｛《工，yy)i0&y1,0&y&l｝及直线l,x+y=t(t>0\若,s”)表示正方形d位于直线/左下方部分的面积，试\求［；s”)&(h)o).解如图研3-1可知，0<wl,sa)=?1v《2.093-111, t>2.所以当?x<l时，j:s(t)dr=j:当1vj^2时，js(r)dr=s(力也+(-1-?*+2r—1jdr当工>2时，j:sa)&=”s(t)dr+因此s(t)dr=*64x-hjr>2.17.(1992.皿)求曲线y=右的一条切线人使该曲线与切线/及直线r=0,工=2所圉成图形面积最小.解由>’=士，得曲线在处的切线方程为k”=力”一小所圈面积为s”t:(点”专-77)&号477-挈令33=0,得r=l,又s*⑴.故当￡=1时，面积取极小值，由于驻点惟一,因此，=1是最小值点，此时i的方程为y=今+器图研3—21&(1993.皿)设平面图形a由i,+炉《以y与工所确定,求图形a绕直线h-2旋转一周所得旋转体的体机图研3—2解a的图形如图研3-2,取y为积分变量.?则y的变化范围为［0,1］.相应于［0,1］上的任一小区间b，y+dy］的体积元素为dv=｛疝2—《1—v/1—y)］*—n(2—>)*\dy=2k0/1—，一(y—l)z］d>?因此所求体积为(l-yrj*vq1 —(y-1)与(l-yrj*?2xy4-yarcsiny+图研3-3-7t,图研3-3(1994.id)求曲线y=3-|3一】|与“轴国成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积.解如图研3—3,曲线电的方程为y=/+2(0?d,岗的方程为y=4-3(l?2).取r为积分变量.记相应于区间［0,1］和［1,2］上的体积分别为%和％，则它的的体积元索分别为dv^xo^es-^+a^ldr-ucs+z^-xodr,d%=x{32—[3—(4—x1)了}dx=”(8+2x*一工’)dr.由对称性得旷=2(％+匕)=2*工(8+2j2-*’)业+2〃((8+2/-“)dr=2fff(84-2jt-jr4)dlr=nj^ir.j0 lo(1991.1,［d设函数/cr)在［0,1］上连续，(0,1)内可导，且3「，/(j-)dxji=f(0).证明在(0,1)内存在一点c,使/’g)=0.解由积分中值定理知，在［■!」］上j在一点3,使［孑〃工)也=孑/储)，从而有八。)=/(0),故f5)在区间［0,n］上满足罗尔定理条件，因此在(0,0)(u(0/))内存在一点c,使证毕.(1993,皿)设/'(h)在［0,。］上连续，且八0)=0.证明:|j:fgr)dr|《将其中解由微分中值定理可知:对于任意工6［0,。］，存在￡6(0,工)，使得〃力一/(0)=/’筑)工,由条件八0)=0得〃工)=/’5)工,因此有||(i/(jr)dr|cju|/(,r)|clr;*,:l/^^xidrcjom-rdr=^-.(1999.ii)设f(z)是区间［0,+8)上单调减少且非负的连续函数，a.=s/a)-￡/(x)dlr(n=1,2/“),证明数列｛%｝的极限存在?解由于/cr)单调减少，因此/<44-1)<￡”/(x)dr</(a)(jt=l,2,->.因此有a.=s/(*)［/(x)dr=2/(*)—zffixydxi.| ji i-l *-l=2［/?>-ff7<x)clr］+/<m)><>■即数列｛%｝有下界.又?,>)—a,=/(?+1)—j/(jr)dlr^o,

即得数列匕.｝单蠲减少，由单调有界数列必有极限的准则知数列｛%｝的极限存在.（2004.h）设isinrldt.（l）证明人工）是以k为周期的周期函数式2）求/（工）的值域.(1)/(n+k)i(1)/(n+k)isin/|山?设t=u+寅.则有/(x+k)=j*isin(u+x)|du=j，|sinu|du=/(x).a=j:sinfd/1?/(x)=j(-sin/)dz=a=j:sinfd/1?/(x)=j(-sin/)dz=故/（?是以x为周期的周期函数.（2）因为|sin川在《-8,+8）上连续，注意到人工）是以n为周期的周期函数，故只需在［o,0上讨论了（力的值域.因为f(x)=|sin(4+半)|sinx|=icostisinx|,令/口）=（）?解得工『手』=竽，且isinrid/-sin/d/-‘sinrdz-2-72.因而/（外的最小值是2一/j,最大值是々，故/（工）的值域是［2—々,&］.2?r+.x*.-l4xv0,《2002.i,u)设/■(“)={ , 求函数f(x)=，04xc】，工人力市的表达式.解当一1?0时.f<x）=j/（r）dz=|］（2r+*|■产）d.=1?+%］,=%+/一/当04rql时，f“）?j二拉）3匚的寰粒+j:而市

去&=一a晶+￡tt^d(e-，)=—5—^-[ln<l+e-*)]j=-^t-ln(14-e-“)+ln2.十i 4c*十1因此f(x)=’-吴昌-卜号\因此f(x)=’-吴昌-卜号\?x<l.（2003.i）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为鼠&>0）,汽镖第一次击打,将桃打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r?xr<l）,<h]（1）汽镰击打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注:m表示长度单位米.）解（1）设第”次击打后,桩被打进地下h.m,第n次击打时，汽锤所作的功为w.（”=l,2,3.由题设，得wtwtkxdx=-1-xiw,=pirdr=-|-(i?-j1)由条件wt^rw,,得4r/tt7a.’kxdx_4-<jri—jt})=4-[xi—(1+r)?*j.ji* 4由条件w,=rw,,得nsn/ttaa,即汽锤击打3次后，可将桩打进地下j1+/+r2am?(2)根据条件，有w.=「4rdz=象三一二1),

jj4由条件w.=rw.->，得w.=rw.t=/w._?=…=ltwi,故即.于是xi=(xl-xi-j)+(xj-|—xi-2)

+?,?+)+xi=+l，，+…+m?+/,即得上0=714*广^??++因此limx.=lin\/4—^-a=j–,r*-?> .?-?v1-r:y1—j即若不限击打次数，汽锤至多能将桩打进地下7台m.(1999.i，u)y”-4y一心的通解为.解此方程对应的齐次方程的特征方程为/-4=0.其根为rg=±2.又因自由项/(x)=e^,a=2是特征方程的单根，故令>>=ar/是原方程的特解，代人方程可得a=j,于是原方程的通解为y=g/+ge-~+手昌.(2000.i)微分方程jy+3y’=0的通解为.解原方程可变形为也=一◎a,积分得iny’=-31nx+lnq,y*即 s*.故 y=一与m+g=?+g.(2001.i)设yne^gsinr+gco&rmcrc,为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该微分方程为.解由所给通解的表达式知=1±i是所求微分方程的特征方程的根，于是特征方程为/-2r+2=o,故所求微分方程为?/—2y’+2y=0.(2001.u)过点侏0)且满足关系式y’arcsior+余5=1的曲线方程为.解将所给关系式改写成/+—.1a—=-v-.由一阶线性微arcsinxv1-jrarcsinx分方程的通解公式，得y=5二力th([-4—jdr+c),即cliv2>lilc /cr+c)代人初始条件工?彳,y=o,得c=-}.故所求曲线的方程为 arcsinx'(1989.i,fl)设线性无关的函数都是二阶非齐次方程y”+p(h)y’+g(x)y=/(工)的解,g，g是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ).<a)gyi+ct_yj+?， (b)gyi+&力一(g+c?)g，(c)ciyi+qyj—(1—ct—q>>ii (d)c,yi+ciyi+(1—c)—q)y>.解因x一力与是对应的齐次方程的解，且由x线性无关可推知》一》与“一8线性无关，而“是非齐次方程的特解，故y■*g(m-%)+g(y?y,>+g-gm+g?+(1-g-g)%是非齐次方程的通解，所以选择(d).(1989.皿)微分方程/一y=e*+l的一个特解应具有形式(式中a,6为常数)().(ajae,+fri(b)axer+6?(oae,+fcxi(dlazl+fer.解原方程对应的齐次方程的特征方程的根为=土1.相对于方程/一因/(h)=e*,a=l是特征方程的(单)根，故该方程的特解应形如y\=axel.又相对于方程y”-y=l,因k(1)=1以=0不是特征方程的根，故该方程的特解应形如yi-a.按叠加原理，原方程的特解应形如歹=w+y{-axe-+6.故应选揖(b).(2002.i，u)微分方程yy”+y”=0满足初始条件y| =1,/|=口的特解是.解令、’=八则/=。坐，且原方程成为毋半+”=0,t dy ay即 或y*+p=0.由于户=0不满足条件，| =孑,故取y￥+》=0.分离变量后积分得il。4 flypy’代人初始条件闻_。=1″|。=2得g=+，即

分离变量后积分得 y=x+q,代人初始条件得g=l.于是有，=工+1,解得特解y=v/7+t.,8.(2004.d欧拉方程/密t<r取+2>-0(x>0)的通解为gjrdr 解令工=〃.记d=3,则原方程成为特征方程是解得特征根是故得通解于是原方程的通解为d(d—l)y+4dy+2y=0.r(r-l)+4/+2=0,r\=一l?rt特征方程是解得特征根是故得通解于是原方程的通解为_c\.ct

y- r-t.xjt(2004.口)微分方程(,+外业一2他=0满足=1■的特解为?解原方程变形为一阶线性方程dv1__x2解得 y=j”(j京”“dr+c)=/13+cjx,由,一=”!■得。=l故特解为(2005?1而微分方程w+2?=zlnr满足=—1的特解为.解原方程变形为一阶线性方程y’+ay=lar,x解得y=:快(jinxj*dr+c)由-得，得c=0,故特解为y=1(lnx-1).(1989.i,ii.皿)设义工)=5显一，(工一，)/?)也,其中/为连续函数，求人工).解因/(x)=sinx-x￡/(r)d/+￡f/(r)dr,{tax=。，得/(0)=0,且 /'(工)=com—￡/(r)dz.代人工=0,得f'(0)=l.又/*(x)=sinx-y(x).记y=/(“)，即得初值问题炉+’=~sinx,l>l-o=o,y’li=1.上述微分方程对应的齐次方程的特征方程有根ri,2=±i,而自由项为一sinr,n+j=是特征方程的根?故令/”wacom+bsinr)是原方程的特解?代人微分方程并比较系数，得a=4,b=o,即/=1xco&r.于是得通解cicosjt+ctsinx+-^-xcosr,由3lo=o及:y’ilo=1，得fci=0. (ci=0,u+i-i.wh=i故(1991.i,u)在上半平面上求一条向下凸的曲线，其上任一点p(h,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线pq长度的倒数(q是法线与h轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.解曲线y=y(z)在点p(h，w处的法线方程为

y-y- r(x-x).y令丫=0,得点q的坐标cr+?’,o),于是ipqi=/（jryf）z=iy|/1+y”.依题意有 以二品7肝因所求曲线在上半平面上且向下凸，有|y|=y,|y”|=y”,故得微分方程i+71>且由题设知=i?yix-i=o.令y’=2，则y”=p黎，且微分方程降阶为?d/>=dy1+”一t由条件y=1,’=0,枳分j；聋方=j:字，得+户=iny,从而即积分得即积分得ln(y+>/y-1)=±z+c,即y=-— 代人初始条件工=】,y=i,得c=-1,故厂+产”2ix（1995.i，口）设曲线l位于*为平面的第一象限内,l上任一点m处的切线与、轴总相交，交点记为a已知|m4|=|cm|,且l过点隔,修卜求l的方程.解设点用的坐标为gr,y），则切线ma的方程为y-y=y（x—x）.令x=0,得a的坐标（0,,一工/）.因|ma|=|qa|,故有1y-xyr|=j<1-0产+3-y ,化简后得 21yy’一上y？=一x.工即 （，，一yy2n—x.由一阶线性方程的通解公式解得v=jm(j一xe”’dr+c)=x(—工+c)=-x2+cr.由于l位于第一象限，故取y=’cr-f?代人初始条件■，尸’!，得c=3.故l的方程为y=/3x-(1995.dj)设了是微分方程1/+以工”工工的一个解，求此微分方程满足条件j”皿=0的特解.解将y=e^代入原方程，可得工―+户1r=h,故 p(x)=hb’-m?即原方程为 工/+(xe-^—x)>=xt消去工，得 y+(e–i)j?=i. ?于是得通解y=j”t’加(jef,*”l”uclr+c)= “(卜’门，’>dr+c)=e””(j-e,jd(e-,)+c)=e*”’(尸+c)=e*+cl’.由初始条件1nz=0,得2+02。=0,即。=一€-+.故所求特解为(1996.ik)设/(工)为连续函数.(1)求初值问题11+”=”幻’的解’(外,其中。是正常数；*3,1z-o(2)若|〃h)|wma为常数)，证明当工》。时，有卬幻|45(1-e”).解(1)方程的通解为y—e-1*4*(j*/(x)ef*trdlr+c)=e-4r(j/(j-je^ir4-c)=e-“(f(工)+c),其中f(外是/cr)3的一个原函数.由yl,=。=0,得c=一f(0),故y=erf(工)-f(0)]= /(/)e-dz.jo(2)因|/(工)|《人故\y\—4|。(力『北卜『jjfwddf

=&r—(e*,-1)

jo a——(1—e”).a(1993.i,11)设物体a从点(0,1)出发，以常速率u沿y轴正向运动.物体b从点(一1,0)与a同时出发，其速率为2u,方向始终指向a.试建立物体b的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.图研47解设物体b的运动轨迹的方程为y=女工),又设在时刻八物体b位于点(了.？)处，此时物体a位于点(0,1+爪).按88意，则如图研4—1所示，有图研47即 y-xy’-1=vt.又此刻，物体b从点(一1,0)行至(ay)的路程为x/l+y”clr=2vt.由(1)式与(2)式消去ur,得y—xy’-1=”1-j(+y!clr.在上式两端对了求导，得y—(y+q”)=”ivl+丁.即 xy’+^vl+y2=0.初始条件为 yl—?=0,』ili=1.(1998.ii)利用代换,=忌将方程ycosx_2y，sinx+3ycosx=化简，并求出原方程的通解.解法一由u=>cosjt两端对x求导，得u=ycost_>siar,u=ycosx-2>zsinr-ycosx.于是原方程化为 『+4〃=es其通解为 “=gcos2_r+c”in2x+s(g,g为任意常数〉.d从而原方程的通解为 y=g媛+2gsinx+嘉p解法二 >=usear,ty/=?/secr4-usear?taar?y*=〃”seor+2〃’secr?taru?十〃seer?tanax4-usecjx.代人原方程得 u+au=e.(下同解法一)(1997.n)设曲线l的极坐标方程为plp”).m(p,e)为l上任一点,m0(2,0)为l上一定点.若极径cm。,qw与曲线l所围成的面积等于l上m。.m两点间弧长的值之一半.求曲线l的方程.解由题意得打附，=*+广明,上式两端对，求导，得 d=4不产，即 p=±pvp2-1.分离变量并积分(呼?-=±c卅，jpy/p1-1 」即 f -=+1曲，得 一arcsin-==±。+cp代人初始条件 &=o,p=2,得c=一故曲线l的方程为arcsin、■=彳士仇即若将l表示成直角坐标方程，则由psin(~1士夕)=1,即/>(ycoatf±ysintf)=1.得 x±^/3y=2.(1998.u)设y=y(力是一向上凸的连续曲线，其上任一点cr,y)处的曲率为/!一〃.又此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=z+1,求该曲线的方，l+yz程，并求y=，(“)的极值.解因曲线向上凸，故y4o,曲率k=t^二三4,按题意有s+尸产/tt7r令y’=。，则上述方程化为音了=-1,即i￥2=—dr,

1+户戒芬得 arctanp=g一工因y=ycr)在点(0,1)处的切线方程为y=z+1,故pl-o=y由此条件得arctan1=g，即g=子.于是4积分得y=inp-tan(j-j),cos-h)]+cz.因曲线过点（0,1），故由,i,-。-1,得g7-in号一1+如2.故所求曲线的方程为y=ln[cos（彳-工）]+1+yln2.由于v=，（工）是连续曲线，故’=ln[cos（￡—h）]+1+gjn2的定义域为一兴工一￡受，即一￡〈工＜苧又。8仔-工）＜].故当工=￡时,，有极大值i+}m2.20.（199&id）设函数/（x）在口,+oo）上连续.若由曲线y=人工）,直线h=1,h=”，＞1）与工轴所围成的图形绕工轴旋转一周所成的旋转体体积为试求y=/（x）所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件yi—=f的解.解依题意，有两端对r求导，得将变量，用工表示，即 3j/?(j)clr-=?*/</)-/<1).3/(z)=2t/(t)+“a).x^y+2jy=3，为y=/cr)满足的微分方程.将此方程改写为 炉+2*=3(子);令u=j?，则y=u+皿’,且方程成为xu’=3u(u—1),分离变量并积分[—du-=3fjw(m-1)jx’得 1nli3ln|工|+lnci.代入u=/，得in|」」hj=inci|x|1.即 匚2=cp(c=±c,).y由初始条件yj=看?得c-1,于是由宁=t解得x

,=叼(2001.n)设函数/(工)在0+8)内连续，八1)=”|?，且对所有”c(0,十8)，满足条件j/(“)du=rjj(u)du+hj/(u)du.求fix,).解在所给条件等式的两端对工求导，得tf(xt)=tfixf+j/(u)du.在上式中令工=i,且由/<i)=?!?，可得t/</)=^t+^fku)au. (1)由于？>0时｝j’j(u)du关于f可导，故/⑺=^+*/(u)du可导，于是在等式(i)两端对，求导，得/a)+/”)=y+/(r),即 /'”)=聂积分得/<?>=4>m+c.

u积分得由.dh’i■，得 ?.故一故=■!?—+?!■，即/（x）=-|-（lnx4-1）.（2000.d）某湖泊的水量为v,每年排入湖泊内含污染物a的污水量为’流入湖泊内不含a的水量为，，流出湖泊的水量为冬已知1999年年底湖中a的含量为5m。,超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排人湖泊中含a污水的浓度不超过号.问至多需经过多少年,湖泊中污染物a的含量降至m。以内？（注:设湖水中a的浓度是均匀的.）解设从2000年年初（令此时，=0）开始，第t年湖泊中污染物a的总量为m,浓度为号,则在时间间隔内，排入湖泊中a的垃为招?《&=粤出,流出湖y yoo泊的水中a的量为节?与&=皆曲,因而在此时间间隔内湖泊中污染物a的改变增信一号）市?由分离变量法解得利=发-ce-i，代人初始条件，”|,.s=5nb，得c=—|z）.于是m=号（l+9et）.令m=m。,得，=6ln3,即至多需经过61n3年，湖泊中污染物a的含值降至m。以内.（2003.u）设位于第一象限的曲线y=f（h）过点（考号），其上任一点pq,y）处的法线与y轴的交点为q,且线段pq被工轴平分.（1）求曲线y=/gr）的方程；（2）已知曲线＞=sinx在［0,4上的弧长为z,试用i表示曲线y=f（外的弧长s.解（1）曲线y=f（工）在点pcr,y）处的法线方程为丫一,=t（x-h）,

y其中（x,y）为法线上任意一点，令x=o,则丫二号故q点为（0,?+卞）.由题设知,+y+==0,即21y4y+工&=0.积分，得 ^+2?=c(c为任意常数).由土_片/知c=l,故曲线尸人工)的方程为x2+2yi=l,(2)曲线y=sin］在［0,贡］上的弧长为￡=2j，i/l+cos3xdr.x=cos8,曲线y=f(z)的参数方程为1 j2.故y=-^sind,s=j:jswe+^882e的=ji+si-令&=冷一f,则5=3>十yi+cos?f(-ck)=3:jl+cos2位==*/.24,(2003.i,d)设函数y=y(x)在(-8,+2内具有二阶导数，且y#0,h=x(>)是y=丁(力的反函数.(1)试将工=工6)所满足的微分方程需+(y+sinx)傍)’=0变换为y=y(x)满足的微分方程,(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y(0)=-j-的解.解⑴由反函数导数公式知需=%，即/dz1,而=】?上式两端关于工求导，得y”*+聂(y’)2=0,所以代人原微分方程，得y-y=sinx. (*)(2)方程(#)所对应的齐次方程/一y=0的通解为y=ce+q『.设方程(*)的特解为>*=acosx+bsinz?代入方程(*),求得a—0,b-j故>>—}sinx,从而『一y=sinx的通解是>(x)=ciie*+cie’^—|-sinx.由y(o)=o,y'(o)=”|■，得g=l￡=t,故所求初值问题的解为

y(x)=e1—e-^—^-sinx.(2004.i)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞以增加阻力，使飞机减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为4=&ox10s).问从着陆点算起，飞机滑行的破长距离是多少？解解法一根据牛顿第二定律,得，“$=一红,即dv ki——= at.v m两端积分得irw=-+inc,即u=cem当<=0时有c=5,故ck-j-=v=qe-.cu于是飞机滑行的最长距离为s=jzetd=-=1.05(km).解法二根据牛顿第二定律，得tn-=一ku,at又*=空?*=字…，故有atasatdsds=—

k积分得 $=~yv+c.由于f=0时，s=0,1/=%，故c=3vo.于是得ks=一李(0-%)?

k令v一?()(当f-t8时)，得…警=1.05(km).k

代数与空间代数与空间(1987.i,口)与两直线上=-1+?,及『=中=『都平行，lz=2+f且过原点的平面方程为.解两已知直线的方向向量分别为4=(1,2,1)和》=(0,1,1),所求平面的法向量”与s和s2均垂直，故取= 又平面过原点，故平面方程为h-*+*=0.n=—，+2,(1990.1,口)过点—1)且与直线?y=3，-4,垂直的平面方程z=?-1是.解已知直线的方向向量s=(-1.3.1),所求平面的法向量”〃s.故可取n=￡于是平面的点法式方程为-1g-d+3(y-2)+u+1)=0,即h—3,一z+4=0.(1991.i,n)已知两条直线的方程是l「立地一匚胃=匚l21ii-2=*二1二三，

1 0 —1’52 1 1’则过l.且平行于lz的平面方程是.解两已知直线的方向向量分别是即=(1,0,-1)和死=(2,1,1).所求平面的法向量n与si和0都垂直，故可取n=stx”=(1,-3,1).又平面过l,上的一点(1,2,3),故所求平面的点法式方程为(x—1)—3(>-2)+(%—3)=0,即x—3y+z+2=0.(1995.i,口)设(oxb).c=2tflij[(o+b)x(b+c)]?(c+a)=解 [(a+b)x(b+c)[?(c+a)=(axb+axe+bxc)?(c4-a)=(axb)?c4-(dxc)?a=(oxb)?c+(axb)?c=2(axb)?c=4?《1996.1,u)设一平面经过原点及?点(6,—3,2),且与平面4工一；y+

2z=8垂直，则此平面方程为.解平面4x-y+2z=8的法向量，为(4,一1,2),过原点和点(6,—3,2)的直线的方向向量，为(6,-3,2),按题设，所求平面的法向jan_lm且”_ls,故可取n=hixj=(4,4,—6).于是得平面的方程为4x+4y—6z=。，或2r+2y-3z=0.(2006.i)点(2,】，0)到平面3h+4_y+5￡=0的距离d=.解由点到平面的距离公式，d=|3?2+4?1+5叫=乳,

，3，+4?+52(1993.i，n)设有直线= =中与匕:［了=6；1 -2 1l2y+s=3,则li与lz的夹角为().(a)(b)系0 4(c)茅 (d)解乙和g的方向向量分别为a=(】，-2,1)和皿=(1.-1.0)x(0,2,1)=(-1,-1.2).coss=]吊、=+，故8=年.应逸?.ix+3v+2z+1=0,(1995.i,u)设有直线l:。s-八及平面不:4h-2y+(2x—>—10z+3=0z-2=0,则直线” ).(a)平行于k. (b)在釐上.(c)垂直于m. (d)与k斜交.解直线l的方向向垃a=(1,3,2)*(2,-1,一10)=(-28,14,-7)〃(4,一2,1),而(4,一2,1)为平面k的法向量,故直线l垂直于(r.应选(c).eib、zbtq是满秩的，则直线三二=*二发=5—,a2 bi-bt3仇”与直线二二幺5—03).与直线二二幺5—03).(a)相交于一点. (b)重合(c)平行但不重合. (d)异面.解记点m为(4出q)，点n为，仇，口).两已知直线的方向向量分别为si=(flj-勾，仇一bi.c、-cz)”z=(az-依一与 由于

ci-cl0,故三向盘j＞，两共面.又由于矩阵仇clbici是满秩的，故flibicia?从ci03 63c3a\—atb\—bi

5ci-cl0,故三向盘j＞，两共面.又由于矩阵仇clbici是满秩的，故flibicia?从ci03 63c3因此父二士=件二%=￡1二0不成立，从而&与“不平行，于是两直线必交于at-a.bt-0}c?—ci一点.应选(a).(2002.i)设有三张不同平面的方程a,ih+a口y+aaz=6,,i=1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为().图研5-1图研5-1解由于线性方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数的个数3,故线性方程组有无穷多个解，因此三张平面不可能没有公共交点,也不可能仅交于一点，这样就排除了c、d和a.又由于系数矩阵的秩为2,故必有两张平面的法向量线性无关，即不共线，因此三平面必交于一线.应选(b).(1998.i)求直线-=券=z_；在平面7t:工-y+2z—1=0上的投影直线zo的方程，并求＜。绕y轴旋转一周所成曲面的方程.解法一直线/的方向向量$=《1,1,一d，平面”的法向毋用-1,2).设经过i且垂直于平面”的平面方程为馆:a(z-d+by+cg-1)=0.则由题设，用的法向量(a,b,c)与s和〃均垂直，从而有a+b-c=0,a-b+2c=0,由此解得a?j3?c-(-l)?3?2.于是得用的方程为工一3了一2%+1-0. 从而得zo的方程为设zo绕y轴旋转一周所得的旋转曲面为s,(h,?,z)为s上任意一点.则该点由直线，。上的一点(%,加,4)绕v轴旋转而得,于是有关系:y=”，/+—=xj+zj=(2>0)*+ -d]=4y*+:(y—1)’,从而得s的方程为4x?-17y+4?+2y-l=0.{jr—v-1=0?y+二”。.过”的平面束方程为(x—y—1)+a(y+z—1)=0,

x+(a—l)y+az-(1+a)=0.现确定a的值,使向量(l.a-l.a)与平面*的法向量n=(1.-1.2)垂直，即令1一。一d+2a=0,解得入=一2.从而得过/且垂直于”的平面方程为工一3y-2z+l=0.(下同解法一) ‘解法三经过，且垂直于平面n?的平面所的法向量街可取为(1,1,一】)x(1,-1,2)=(1,-3,-2).又通过/上的点(1,0,1),故制的方程为(x-1)—31y—2(.z—1)=0，即h—3y—2z+1=0.(下同解法一) ,hr%六)多元函数微hr%六)多元函数微分学霸(1997.i)二元函数/(工,必=|3+，”工'”‘(°’°)’在点(0,0)(0, (x,y)=(0,0)处().(a)连续、偏导致存在. (b)连续、偏导数不存在.(c)不连续、偏导数存在. (d)不连续、偏导数不存在.解a(o,o)=蚂八。+但公―/仙。)=0,同理=0,故偏导数存在.又当(工,丁)沿y=必:趋向于(0,0)时u撒/=%露，=击.随着&的不同，该展限值也不同，所以极限lim/(ay)不存在在(0,0)不连续.应选(c).(1991.i?ii)由方程wh/d+1+1=我所确定的函数z==n,y)在点(1,0,—1)处的全微分dz=.解在所给方程两端分别取全微分，得yzdi4-jczdy+pdz+ (工47+ydy+zdz)=0,j士+y+/因此，在点(1,0.-1)处dz=dr—v2dy. .(1987.口)设z=/(u,x,y)tu=ze。其中/具有二阶连续偏导数，求3lzdxdy解 =/?券+/，=。y+八，痣”界/?”+/>=(几嚼+人上+/**+/=符十/。=/.?工6+4?d+f.?d+几?>ze>+/1y.4?(1995.i，u)设14=/(工,》2),~(工,，6>,2)=0,，=5足］,其中/,3都具有一阶连续偏导数，且需#0,求累.此=〃+”dr3工dy此=〃+”dr3工dy■*+不■$?易见案=8sz.由2aap{+e,cosx?6+向?强0,案rif+*8sh-|f*(却;+*?工?初5.(1996.i，d)设变换5.(1996.i，d)设变换”=工厂，，可把方程v=x+ay,32z 32z一0ax23xdyay-简化为普=0,求常数a.dudv加注sz?sagoz_?3?-3ar解法一六一五十五’药一一2菰+a而’决一市+2诉+分,方=4/一短薪+a%’担生=-2^+(a-2)-^-+a—.djcdysa2 dudvdi7’将上述结果代入原方程，经整理后得(10+5a)券+(6+a-ad喜=0.dudv dir依题意a应满足6+a—a2=0且10+5a#0.解之得a—3.解得从而解法二将z视为以工~为中间变量的的二元复解得从而_皿+2, _—u+一工一a+2，了一年后.dx=adjc_2dy=_]dy=]dua+2’31； ?+2’a”a+2’九a+2’toc\o”1-5″\h\zdz=3z2h .3n3y= a.匹 ]3zdudxdu dydu a+2dx a+2aly’夫a /92zst . dy\ ]/ 8x,32z 3y\dudva+2\3xesv sxdydvl a-j-2\dy3xdv dy1 3v)_2aa”ia-2al ] a’-一(a+2)2/+(u+2)251万1(a+2)’不？依题意6分+需一咨=0,即代入前式，得=2q—§ .a-3 3%代入前式，得诉=（7+2757十（a+2）2痂寸令募=°’得a—3=o,a+2#o,故a6.(1999.i)设y=人］)，之=z(n)是由方程z=jrfgr+y)和f(1,y,z)=0所确定的函数，其中/和尸分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdz,解分别在z= 和f(x,y,z)=0的两端对h求导或求偏导?得却八4十甑,f,+f,今+f/=o.整理后得「”案+却/+”，［巳卷+f卷一f,由此解得￡=—骑诗但#0).(2000.i)设z=/(和，手)+gr),其中/具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求悬.解案=必+，；一步g’，黑’m’+y-*)=/；+>(vn-/同一:(h/1一j同一$，一’~ji—fn–^g~^ig-(2001.i)设函数z=f{x,y)在点(1,1)处可微，且/(l.l)=1.=2,乳,”=3必幻=/(“工,力).求翡(工)匚解 =/(1,/(1,1)) =1,

装—(h)[]=1]gr) j=3^(x)[/^(x,/(x,x))+fi(x,/(x,x))(.fi(x,x)+6cz,h))j|ai其中=3?1.[24-3(2+3)]=51.其中(2005.i,n)设函数u(h,y)=〃h+y)+pq-y)+函数p具有二阶导数，3具有一阶导数，则必有（）.包=a,d2u_dx2~dlu

dxdy

为f.

ay-解祭=p’gr+y)+p'(h-y)+—工+、)一次工-y)包=a,d2u_dx2