考研数学之中值定理透析-尚学考研数学名师李晶
原标题：考研数学之中值定理透析-尚学考研数学名师李晶
考研数学中值定理透析
高数占据了考研数学的半壁江山，而在高等数学的中值定理(零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理)是学生在学习过程中认为最难的部分。我们来详细的分析一下这几大定理。
第一，定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质，三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，积分中值定理属于积分范畴。
第二，每个定理的使用方法。
学生基本上都能根据题目确定使用哪个定理，但是关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程
之间有一个(或者只有一个)根”。显然是对函数
内使用零点定理。需要注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，如果要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做说明。
2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明
，仅需要说明函数
在内连续，以及
的值域内。
3、用微分中值定理解决问题有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。这部分难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：
(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;
(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;
(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;
(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注
意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;
(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。应当从需要证明的结论入手，因为证明题的结论其实是对你的提示，只要从证明结论入手，逐步分析，必然会找到证明方法。
4、积分中值定理。如果看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。
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