为什么你们说证明题难和我不是一个路数的人(2020年考研数学一…

两年前我评价2018年考研数学三，就提出了数学是思维方式，不是熟练工种，你们认为最难的证明题，我倒是觉得最容易。计算题常常包含了很多步骤，只要中间错了一步，接下来就会出很多错误，而且你很难检查出自己的错。但是证明题你做得对不对，心里总有数，就算做不完也可以写出已有的想法，获得相应的分数。
19. 设函数 f 在区间 \left[0,2\right] 上连续可导，且 f\left(0\right)=f\left(2\right)=0. 记
m=\max_{x\in\left[0,2\right]}\left|f\left(x\right)\right|.
(1) 证明：存在 \xi\in\left(0,2\right), 使得 \left|f
(2) 证明：若对于任意 x\in\left(0,2\right), 成立 \left|f\left(x\right)\right|\le m, 则 m=0.
我刚才偶然看到有人回忆考试时的想法，说看到绝对值符号想到了曾经谁的习题册里有，那你可真是做题做傻了。眼界越窄，越喜欢从偶然事件中建立虚假的联系。别想太多。
先从直观上理解第一问要证明的结论具有什么意义。
闭区间 \left[0,2\right] 上的连续可导函数在两端都为零，记 m 为此函数绝对值的最大值。
则在此区间的内部总是有一些位置，使得此函数在这些位置的导数绝对值不小于 m.
什么叫最大值？这里关于 m 有两层含义：
1. 对于任意 x\in\left(0,2\right), 成立 \left|f\left(x\right)\right|\le m;
2. 存在 a\in\left(0,2\right), 使得 \left|f\left(a\right)\right|=m.
你不要小看这样的描述，如果不这么说，还真看不出来这个最大值的条件怎么用。
接下来，函数 f 作为连续可导函数，用微分中值定理研究是最自然的想法。
对于

任意 x\in\left(0,2\right), 存在 \xi\in\left(0,x\right), 使得
f\left(x\right)=f\left(0\right)+f\left(\xi\right)\left(x-0\right).
这时你看看，刚才写出的两个结论哪个可以用来和它结合，以便解决第一问？
第一个结论说的是对 \left|f\left(x\right)\right| 的放大估计，也会是对 \left|f\left(\xi\right)\right| 的放大估计，而第一问要你证明的实际上是对 \left|f\left(\xi\right)\right| 的缩小估计，因此用不了。
试试第二个结论。代入 x=a, 解得
\left|f\left(\xi\right)\right|=\frac{m}{a}.
直接把 \left|f\left(\xi\right)\right| 解出来了。那我们验证一下 \left|f\left(\xi\right)\right| 能否不小于 m.
当且仅当 a\le 1 时，成立 \left|f\left(\xi\right)\right|\ge m.
也就是说，如果对问题添加条件 a\le 1, 现在就已经解决了。
如何解决 a>1 的情况呢？类似地，对于任意 x\in\left(0,2\right), 存在 \xi\in\left(0,x\right), 使得
f\left(x\right)=f\left(2\right)+f\left(\xi\right)\left(x-2\right).
代入 x=a, 解得
\left|f\left(\xi\right)\right|=\frac{m}{2-a}.
当且仅当 a\ge 1 时，成立 \left|f\left(\xi\right)\right|\ge m.
可以看出这一问的所有想法都是非常自然的。表示出 m 作为最大值的意义，用微分中值定理

表示连续可微函数，将它们结合就可以了。
第一问证明了 \left|f\left(\xi\right)\right| 不能总是小于 m, 那么能否只能等于 m, 不能大于 m 呢？第二问要求你证明的就是如果 \left|f\left(\xi\right)\right| 的最大值是 m, 那么函数 f 只能是常数函数。
我们依然先从 m 作为最大值和微分中值定理两个角度考虑。
第二问想要做的似乎可以看作是对 \left|f\left(\xi\right)\right| 的缩小估计，那么使用第一个结论可以吗？
整理得到
\left|f\left(\xi\right)\right|\le\frac{m}{x}.
但是接下来需要我们给出 \xi 的任意性，这是微分中值定理无法解决的问题。
微分学解决不了的事情，就交给积分学。用微积分基本定理写出
f\left(x\right)=f\left(0\right)+\int_0^xf\left(t\right)\text dt.
代入 x=a, 整理得到
f\left(a\right)=\int_0^af\left(t\right)\text dt.
再留意问题所给的条件，利用定积分的性质得到
f\left(a\right)\le\int_0^am\text dt=ma.
类似地，写出
f\left(2\right)=f\left(x\right)+\int_x^2f\left(t\right)\text dt.
整理得到
f\left(a\right)=-\int_a^2f\left(t\right)\text dt.
再得到
f\left(a\right)\le\int_a^2m\text dt=m\left(2-a\right).
假设 m\ne 0, 那么如果 a\ne 1, 那么在 ma 和 m\left(2-a\right) 中有一个小于 m, 矛盾。
但是 a=1 的情况怎么解决呢？我们得从这些不等号下功夫。
以上两个不等号取等号的必要条件分别是 f\left(x\right) 在区间 \left(0,a\right),\left(a,2\right) 上是常数。
如果它们同时取等号，就会导致 \left|f\left(x\right)\right| 在区间 \left(0,2\right) 上是常数。这也会矛盾，因为此时
\left|f\left(2\right)\right|=\int_0^2\left|f\left(t\right)\right|\text dt=2m\ne 0.